【導讀】設△ABC與正方形MNPQ的重疊部分的面積為ycm2，MA的長度為xcm，平移問題的函數(shù)圖象，正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)。當0＜x≤4cm時，重合部分為邊長是x的等腰直角三角形，面積21yx2?當4＜x＜4時，如圖，重合部分為直角梯形，其中，，是一個開口向下的二次函。A．12B．22C．1D．21?∴移動的距離PP′=21?。與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A. 分別令x=0，y=0可得直線4yx43???∵旋轉(zhuǎn)前后三角形全等，∴由圖易知點B′的縱坐標為OA長3，橫坐標為OA+O′B′=OA+OB=3+4=7。又OP=2，根據(jù)相似三角形的判定定理判斷出

　　

【正文】 AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） ： ① 在 Rt△ ABC 中， D 是 AB 的中點， ∴ AD=BD=CD=12 AB， ∠ B=∠ BDC=60176。 又 ∵∠ A=30176。， ∴∠ ACD=60176。 － 30176。=30176。 又 ∵∠ CDE=60176。，或 ∠ CDF=60176。時， ∴∠ CKD=90176。 ∴ 在 △ CDA中， AM（ K） =CM（ K），即 AM（ K） =KM（ C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合） 。 ∵ CK=0，或 AM=0， ∴ AM+CK=MK。 ② 由 ① ，得 ∠ ACD=30176。， ∠ CDB=60176。 又 ∵∠ A=30176。， ∠ CDF=30， ∠ EDF=60176。， ∴∠ ADM=30176。 ∴ AM=MD， CK=KD?！?AM+CK=MD+KD。 ∴ 在 △ MKD 中， AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） 。 （ 2）作點 C 關(guān)于 FD 的對稱點 G，連接 GK， GM， GD．證明 △ ADM≌△ GDM 后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)， GM=AM， GM+GK＞ MK， ∴ AM+CK＞ MK。 （ 3）由（ 2），得 GM=AM， GK=CK， ∵ 2 2 2M K CK AM??，∴ 2 2 2M K GK GM??。 ∴∠ GKM=90176。 又 ∵ 點 C 關(guān)于 FD 的對稱點 G， ∴∠ CKG=90176。， ∠ FKC=12 ∠ CKG=45176。 又 由 （ 1），得 ∠ A=∠ ACD=30176。， ∴∠ FKC=∠ CDF+∠ ACD。 ∴∠ CDF=∠ FKC－ ∠ ACD=15176。 在 Rt△ GKM 中， ∠ MGK=∠ DGK+∠ MGD=∠ A+∠ ACD=60176。， ∴∠ GMK=30176。， ∴ MK 3GM 2? ?！? MK 3AM 2? 。 12.（ 2020 年 浙江 金華、 麗水 10 分） 在平面直角坐標 系中，如圖 1，將 n 個邊長為 1 的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊 OA和 OC 分別落在 x 軸和 y 軸的正半軸上，設拋物線 ? ?2y ax b x c a 0? ? ? ＜過矩形頂點 B、C． （ 1）當 n=1 時，如果 a =﹣ 1，試求 b 的值； （ 2）當 n=2 時，如圖 2，在矩形 OABC 上方作一邊長為 1的正方形 EFMN，使 EF在線段 CB 上，如果 M，N 兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式； （ 3）將矩形 OABC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)，使得點 B 落到 x 軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點 O． ① 試求當 n=3 時 a 的值； ② 直接寫出 a 關(guān)于 n 的關(guān)系式． 【答案】 解：（ 1）由題意可知，當 n=1 時，點 C 的坐標為（ 0， 1） ∴ 拋物線對稱軸為直線 x =12 ， a =﹣ 1， ∴ b12a 2??，得 b =1。 答： b 的值是 1。 （ 2）解：設所求拋物線解析式為 2y ax bx 1? ? ? 由對稱性可知拋物線經(jīng)過點 B（ 2， 1）和點 M（ 12 ， 2），代入 2y ax bx 1? ? ? 得 4a 2b 1 111a b 1 242? ? ???? ? ? ???，解得4a38b3??????????。 ∴ 所求拋物線解析式為 248y x x 133? ? ? ?。 （ 3）解： ① 當 n=3 時， OC=1， BC=3， 設所求拋物線解析式為 2y ax bx??， 過 C 作 CD⊥ OB 于點 D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD。 ∴ OD OC 1CD BC 3??。 設 OD=t，則 CD=3t， ∵ OD2+CD2=OC2， ∴ （ 3t） 2+t2=12， ∴ 1 10t10 10??。 ∴ C（ 10 3 , 1010 10 ，）。 又由勾股定理，得 B（ 10 ， 0）， ∴ 把 B、 C 坐標代入拋物線解析式，得 10 a 10 b 01 10 3 10ab10 10 10? ???? ????，解得， 10a 3?? 。 答： a 的值是 103? 。 ② 答： a 關(guān)于 n 的關(guān)系式是 2n1a n??? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，；勾股定理；正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類歸納。 【分析】 （ 1）根據(jù)已知得到拋物線對稱軸為直線 x =12 ，代入即可求出 b 。 （ 2）設所求拋物線為 2y ax bx 1? ? ? ，由對稱性可知拋物線經(jīng)過點 B（ 2， 1）和點 M（ 12 ， 2），把 B、M 的坐標代入得到方程組，求出 a 、 b 的值即可得到拋物線解析式； （ 3） ① 當 n=3 時， OC=1， BC=3，設所求拋物線解析式為 2y ax bx??，過 C 作 CD⊥ OB 于點 D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD，得出 OD OC 1CD BC 3??，設 OD=t，則 CD=3t，根據(jù)勾股定理 OD2+CD2=OC2，求出 t，得出 C 的坐標，把 B、 C 坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出 a 即可。 ② 根據(jù)（ 1）、（ 2） ① 總結(jié)得到答案。 13.（ 2020年 浙江杭州 12分） 如圖， AE 切 ⊙ O 于點 E， AT 交 ⊙ O于點 M， N，線段 OE 交 AT 于點 C， OB⊥ AT于點 B，已知 ∠ EAT=30176。， AE=3 3 ， MN=2 22 ． （ 1）求 ∠ COB 的度數(shù)； （ 2）求 ⊙ O 的半徑 R； （ 3）點 F 在 ⊙ O 上（ FME 是劣?。?，且 EF=5，把 △ OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點 E， F重合．在 EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在 ⊙ O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與 △ OBC 的周長之比． 【答案】 解：（ 1） ∵ AE 切 ⊙ O 于點 E， ∴ AE⊥ CE。 又 ∵ OB⊥ AT ， ∴∠ AEC=∠ CBO=90176。， 又 ∵∠ BCO=∠ ACE， ∴△ AEC∽△ OBC。 又 ∵∠ A=30176。， ∴∠ COB=∠ A=30176。 （ 2） ∵ AE=3 3 ， ∠ A=30176。， ∴ 在 Rt△ AEC 中， tanA=tan30176。=ECAE ，即 EC=AEtan30176。=3。 ∵ OB⊥ MN， ∴ B 為 MN 的中點。 又 ∵ MN=2 22 ， ∴ MB=12 MN= 22 。 連接 OM，在 △ MOB 中， OM=R， MB= 22 ， ∴ 2 2 2O B O M M B R 2 2? ? ? ?。 在 △ COB 中， ∠ BOC=30176。， ∵ cos∠ BOC=cos30176。= OB 3OC 2? ， ∴ BO= 32 OC。 ∴ 22 3 2 3O C O B R 2 233? ? ?。 又 ∵ OC+EC=OM=R， ∴ 223R R 22 +33??。 整理得： R2+18R﹣ 115=0，即（ R+23）（ R﹣ 5） =0，解得： R=﹣ 23（舍去）或 R=5。 ∴ R=5。 （ 3）在 EF 同一側(cè)， △ COB 經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有 6 個， 如圖，每小圖 2 個，頂點在圓上的三角形，如圖所示： 延長 EO 交圓 O 于點 D，連接 DF，如圖所示， △ FDE 即為所求。 ∵ EF=5，直徑 ED=10，可得出 ∠ FDE=30176。， ∴ FD=5 3 。 則 C△ EFD=5+10+5 3 =15+5 3 ， 由（ 2）可得 C△ COB=3+ 3 ， ∴ C△ EFD： C△ COB=（ 15+5 3 ）：（ 3+ 3 ） =5： 1。 【考點】 切線的性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 （ 1）由 AE 與圓 O 相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 AE⊥ CE，又 OB⊥ AT，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出 △ AEC∽△ OBC，根據(jù)相似三角形的對應角相等可得出所求的角與 ∠ A相等，由 ∠ A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。 （ 2）在 Rt△ AEC 中，由 AE 及 tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出 CE 的長，再由 OB⊥ MN，根據(jù)垂徑定理得到 B 為 MN 的中點，根據(jù) MN的長求出 MB的長，在 Rt△ OBM 中，由半徑 OM=R，及 MB 的長，利用勾股定理表示出 OB 的長 ，在 Rt△ OBC 中，由表示出 OB 及 cos30176。的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出 OC，用 OE﹣ OC=EC 列出關(guān)于 R 的方程，求出方程的解得到半徑 R 的值。 （ 3）把 △ OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點 E， F重合．在 EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有 6 個。 頂點在圓上的三角形，延長 EO 與圓交于點 D，連接 DF， △ FDE 即為所求。 根據(jù) ED 為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到 △ FDE為直角三角形，由 ∠ FDE為 30176。，利用銳角三角函數(shù)定義求出 DF 的長，表示出 △ EFD 的周長，再由（ 2）求出的 △ OBC 的 三邊表示出 △ BOC 的周長，即可求出兩三角形的周長之比。 14.（ 2020年浙江湖 州 12分） 如圖 1，已知菱形 ABCD的邊長為 23，點 A在 x軸負半軸上，點 B 在坐標原點．點 D 的坐標為（ 3 ， 3），拋物線 y=ax2+b（ a≠0）經(jīng)過 AB、 CD 兩邊的中點． （ 1）求這條拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）將菱形 ABCD以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸正方向勻速平移（如圖 2），過點 B 作 BE⊥ CD于點 E，交拋物線于點 F，連接 DF、 AF．設菱形 ABCD 平移的時間為 t 秒（ 0＜ t＜ 3 ） ① 是否存在這樣的 t，使 △ ADF 與 △ DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由； ② 連接 FC，以點 F為旋轉(zhuǎn)中心，將 △ FEC 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180176。，得 △ FE′C′，當 △ FE′C′落在 x軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求 t 的取值范圍．（寫出答案即可） 【答案】 解：（ 1）由題意得 AB 的中點坐標為（－ 3 ， 0）， CD 的中點坐標為（ 0， 3）， 分別代入 y=ax2+b，得 ? ?2 3 a+b=0b3? ??????，解得， a= 1b3????? 。 ∴ 這條拋物線的函數(shù)解析式為 y=－ x2＋ 3。 （ 2） ① 存在。如圖 2 所示，在 Rt△ BCE 中， ∠ BEC=90176。， BE=3， BC=23 ， ∴ B E 3 3sin C =B C 223?? 。 ∴∠ C=60176。， ∠ CBE=30176。 ∴ EC=12 BC= 3 ， DE= 3 。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADC+∠ C=180176。 ∴∠ ADC=180176。60176。=120176。 要使 △ ADF 與 △ DEF 相似，則 △ ADF 中必有一個角為直角。 （ I）若 ∠ ADF=90176。， ∠ EDF=120176。－ 90176。=30176。 在 Rt△ DEF 中， DE= 3 ，得 EF=1， DF=2。 又 ∵ E（ t， 3）， F（ t，－ t2+3）， ∴ EF=3－（－ t2＋ 3） =t2。 ∴ t2=1。 ∵ t＞ 0， ∴ t=1 。 此時 A D 2 3 D F 22 = 2D E E F 13? ? ? ， ∴ AD DF=DE EF 。 又 ∵∠ ADF=∠ DEF， ∴△ ADF∽△ DEF。 （ II）若 ∠ DFA=90176。，可證得 △ DEF∽△ FBA，則 DE EFFB BA? 。 設 EF=m，則 FB=3－ m。 ∴ 3 m m 3 23?? ，即 m2－ 3m＋ 6=0，此方程無實數(shù)根。 ∴ 此時 t 不存在。 （ III）由題意得， ∠ DAF＜ ∠ DAB=60176。， ∴∠ DAF≠90176。，此時 t 不存在。 綜上所述，存在 t=1，使 △ ADF 與 △ DEF 相似。 ② 66 3 t 2? ? ? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系 ，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，相似三角形的