20xx屆遼寧省“決勝新高考名校交流“高三3月聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:48本頁面
【正文】 以所求概率.所以．【點睛】涉及較繁瑣的概率求解問題，關(guān)鍵是把要求概率的事件分拆成一些相互獨立事件的積和彼此互斥的和，再根據(jù)概率的乘法公式和概率的加法公式求解.21．已知橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一動點，當?shù)拿娣e最大時，其內(nèi)切圓半徑為，橢圓的左、右頂點分別為，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓相交于點，（不與頂點重合），過右頂點分別作直線，與直線相交于，兩點，以為直徑的圓是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）以為直徑的圓恒過兩定點，．【分析】（1）由可得的值，的面積最大時，由橢圓的性質(zhì)可得當和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可列方程，再結(jié)合 的關(guān)系，從而得出答案.(2)設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，由點坐標得出的方程進而得出點坐標，同理得出坐標，寫出以為直徑的圓的方程，從而得出圓過定點.【詳解】解：（1）由題意及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，化簡得①又，所以，，所以橢圓的標準方程為．（2）由（1）知，由題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得．設(shè)，則 ，②直線．令，得，同理可得，所以以為直徑的圓的方程為，即，③由②得：代入③得圓的方程為．若圓過定點，則解得或所以以為直徑的圓恒過兩定點，．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求橢圓方程和根據(jù)直線與橢圓的為關(guān)系求圓過定點問題，解答本題的關(guān)鍵是先求出點，坐標，進一步得出為直徑的圓的方程為，再由韋達定理化簡方程，得出答案，屬于中檔題.22．（1）求證：；（2）已知，求的根的個數(shù)；（3）求證：若，則．【答案】（1）證明見解析；（2）當時，函數(shù)沒有零點；當時，有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3）證明見解析．【分析】（1）用分析法分析“要證，只需證，只需證”，用綜合法寫出證明過程.（2）由指數(shù)函數(shù)，結(jié)合符號法則先分段討論，易知當時，無零點；當時，將分式型函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為整式型函數(shù)的零點問題，構(gòu)造研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值；再分類討論極值與的大小，最后利用零點存在性定理確定零點個數(shù)；（3）借助(1)中已證不等式，將根式形式轉(zhuǎn)化為一次形式，再構(gòu)造新函數(shù)，要注意導函數(shù)隱零點問題的處理，利用零點滿足的等量關(guān)系將指數(shù)運算降階回代，從而達到化簡求值的目的.【詳解】（1）證明：當時，且，(當且僅當時，等號成立).即.（2），當時， ，則恒成立，函數(shù)沒有零點；當時，．令，的零點即為函數(shù)的零點.則，令，解得，當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)，函數(shù)在上的最小值為．當時，又，即0是函數(shù)的唯一的零點；當時， 函數(shù)沒有零點；當時，又，且在是增函數(shù)，由零點存在性定理知，在有且僅有一個零點；又，令，則，在是增函數(shù)，則，即，又，且在是減函數(shù)，由零點存在性定理知，在有且僅有一個零點；故當時，函數(shù)有兩個零點．綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當時， 有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．（3）證明：由(1)知當時，只需證當時，．設(shè)，則．令，則，由，解得，當，在上單調(diào)遞減，且，無零點，當，在上單調(diào)遞增．又，且，在上只有一個零點，且滿足，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即.．又，且，．【點睛】、判斷、虛設(shè)、回代幾個階段，首先觀察有無特殊零點，其次判斷是否存在零點，如果存在，則設(shè)出零點，分析原函數(shù)的單調(diào)性，判定隱零點處取到函數(shù)最值，最后找出零點滿足的等量關(guān)系回代求值，回代過程中注意運算在降階角度的分析，如本題中指數(shù)運算簡化為二次運算求值.第 27 頁 共 27 頁
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