20xx屆市第一中學等八校聯(lián)考高三12月聯(lián)考數(shù)學文試題解析版-資料下載頁
2025-10-05 04:15本頁面
【正文】 得的弦長為，求直線l的方程；（2）已知直線y＝3與圓O交于A，B兩點，P是圓上異于A，B的任意一點，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點．判斷點M、N的縱坐標之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】（1）記圓心到直線l的距離為d，利用垂徑定理求得d．當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），利用圓心到直線的距離列式求得k，則直線方程可求；（2）設(shè)P（x1，y1），由直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分別求出直線PA、PB的方程，進一步得到M，N的坐標，由P在圓上，整體運算可得為定值．【詳解】∵直線x﹣3y﹣10=0與圓O：x2+y2=r2（r＞0）相切，∴圓心O到直線x﹣3y﹣10=0的距離為r=．（1）記圓心到直線l的距離為d，∴d=．當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．∴，解得k=﹣，此時直線l的方程為3x+4y﹣10=0．綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y﹣10=0；（2）點M、N的縱坐標之積為定值10．設(shè)P（x1，y1），∵直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），∴直線PA、PB的方程分別為y﹣3=，y﹣3=．令x=0，得M（0，），N（0，），則（）．∵點P（x1，y1）在圓C上，∴，即，代入（）式，得為定值．【點睛】求定值問題常見的方法①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出導函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性，得最值后可得，得解析式；（2）恒成立，作為的函數(shù)可以看作是一次函數(shù)，只要區(qū)間兩個端點處函數(shù)值滿足不等式即可．【詳解】解：（1）令，解得或（舍），因為，由知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上的最大值為，最小值為，解得，.（2）由（1）知，恒成立，令，則在上恒成立，等價于：，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式恒成立問題．解題中注意問題的轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題常常要進行轉(zhuǎn)化．
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