20xx屆三省三校“3-3-3”高考備考診斷性聯(lián)考卷(二)數(shù)學(理)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-05 05:04本頁面
【正文】 ）當時，證明：函數(shù)的圖像不落在軸的下方.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）令，則，然后分和討論的正負，可得其單調(diào)區(qū)間；（2）要證明函數(shù)的圖像不落在軸的下方，即證，即證，由于，則只要證，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求其最小值即可【詳解】（1）解：，令，則.當時，∴在上單調(diào)遞增.當時，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：要證明函數(shù)的圖象不落在軸的下方，即證，即證.∵定義域為，∴只要證.∵，∴，所以只要證明.令，則，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以當時，所以；當時，所以.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當時，.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關鍵是要證明函數(shù)的圖像不落在軸的下方，即證，即證，而，所以只要證，構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值即可，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于中檔題22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與交于，兩點，求證：為定值.【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）證明見解析.【分析】（1）消去參數(shù)后，得到曲線的普通方程，利用極坐標與直角坐標的互化公式，求曲線的直角坐標方程；（2）首先判斷的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率，再將曲線代入，轉化為關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系表示.【詳解】（1）解：由(為參數(shù))，消去參數(shù)，得，即的普通方程為.由，得，將，代入，得，∴的直角坐標方程為.（2）證明：由(為參數(shù))，得，故的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率.由（1）知，當時，：，則與只有一個交點，不合題意，故.把代入，得，設，兩點所對應的參數(shù)分別為，則，∴.【點睛】關鍵點點睛：本題考查參數(shù)方程，極坐標方程，直角坐標方程的轉化，以及利用參數(shù)解決幾何問題，本題的關鍵是構造幾何意義：的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率，所以，方程聯(lián)立后，代入韋達定理即可求解.23．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象；（2）設函數(shù)的最小值為，若，都為正數(shù)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）使用零點分段法表示函數(shù)，然后分段畫出圖像即可.（2）根據(jù)（1）的條件可知，然后使用基本不等式計算即可.【詳解】（1）解：由，得作出函數(shù)的圖象如圖5所示.（2）證明：由（1）可知，函數(shù)的最小值為2，所以.∵，都為正數(shù)，∴，當且僅當時，等號成立.20
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