20xx屆福建省連城縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:32本頁(yè)面
【正文】 【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.21．在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面平面，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）已知平面與平面的交線為，在上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，點(diǎn)為的中點(diǎn).【分析】（1）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接，通過(guò)證明可得平面；（2）由（1）知即為交線，取中點(diǎn)，連，則，過(guò)在平面內(nèi)作的垂線，則平面，分別以，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接，∵中，∴為的中位線∴為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，∴又平面，平面，∴平面.（2）解：由（1）知即為交線，取中點(diǎn)，連，則，過(guò)在平面內(nèi)作的垂線，則平面.分別以，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，所以，得，取，得，所以.設(shè)，則，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以，得，取，得，所以，所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以與的夾角為鈍角，又根據(jù)與的方向可知此時(shí)與的夾角與二面角的平面角互補(bǔ)，所以二面角的平面角為銳角，由題意可知符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且，所以與的夾角為銳角，又又根據(jù)與的方向可知此時(shí)與的夾角與二面角的平面角互補(bǔ)，所以二面角的平面角為鈍角，由題意可知不符合題意，舍去.所以存在點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握直線與平面平行的判定定理以及利用空間向量求解二面角是本題解題關(guān)鍵.22．已知函數(shù)，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若對(duì)其定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據(jù)某點(diǎn)上的切線斜率即為函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，列出點(diǎn)斜式方程即可得出答案.（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，討論函數(shù)單調(diào)性，求出的取值范圍.【詳解】解：（1）∵的定義域，．若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最大值；若，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減．∴時(shí)，取得最大值，∴．（2）原式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則，設(shè)， 則，所以在上單調(diào)遞增，且，．所以有唯一零點(diǎn)，且，即．兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，易知是增函數(shù)∴，即．由知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，∴，∴故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的極值與最值，屬于難題.思路點(diǎn)睛:本題考查用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)性質(zhì)的方法，（能）成立求參數(shù)范圍的一般方法:①當(dāng)時(shí)，成立，則；②當(dāng)時(shí)，成立，則21
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