【正文】 重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時，求M點(diǎn)的坐標(biāo) ．【答案】（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)；（2）存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(42，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，)．【解析】【分析】（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值， 進(jìn)而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征， 即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2） 利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)， 由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式， 假設(shè)存在， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,），過點(diǎn)P作PD//y軸， 交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,），PD= x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式， 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3） 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m,），進(jìn)而可得出MN，結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結(jié)論 ．【詳解】（1）拋物線的對稱軸是直線，解得：，拋物線的解析式為．當(dāng)時，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2） 當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為．將、代入，解得：，直線的解析式為．假設(shè)存在， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸， 交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示 ．，．，當(dāng)時，的面積最大， 最大面積是 16 ．，存在點(diǎn)，使的面積最大， 最大面積是 16 ．（3） 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．又，．當(dāng)時， 有，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)或時， 有，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，、或，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、 二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、 待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積， 解題的關(guān)鍵是： （1） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值； （2） 根據(jù)三角形的面積公式找出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （3） 根據(jù)MN的長度， 找出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程 ．14．如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．（1）請直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時，∠PBE=∠OCD？（3）點(diǎn)Q是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90176。，當(dāng)∠PBE＝∠OCD時，則△PBE∽△OCD，∴，即BP?OD＝CO?PE，∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合題意，舍去），∴當(dāng)t＝3時，∠PBE＝∠OCD； 當(dāng)∠PBE＝∠CDO時，則△PBE∽△ODC，∴，即BP?OC＝DO?PE，∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合題意，舍去）綜上所述∴當(dāng)t＝3時，∠PBE＝∠OCD；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90176。，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90176。，∵∠CQO＋∠OCQ＝90176。，∴∠OCQ＝∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQ?AQ＝CO?AB，設(shè)OQ＝m，則AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝44，解得m＝2或m＝8，①當(dāng)m＝2時，CQ＝＝，BQ＝＝，∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，∴PM＝PC?sin∠PCQ＝t，PN＝PB?sin∠CBQ＝（10﹣t），∴t ＝（10﹣t），解得t＝，②當(dāng)m＝8時，同理可求得t＝，∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，t的值為或．點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知識．在（1）中注意利用矩形的性質(zhì)求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△PBE∽△OCD是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．15．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的表達(dá)式為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖①，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點(diǎn)，四邊形為矩形．設(shè)矩形的周長為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時周長最大；（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當(dāng)m=時，最大值L=9；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意可表示出D、E的坐標(biāo)，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1,4）． （2）因為D在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因為E在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。，∴DE=EF．L=4DE=4m212m．L=4m212m=4（m+）2+9．∵a=40,∴二次函數(shù)有最大值當(dāng)m=時，最大值L=9．（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．考點(diǎn)：待定系數(shù)法；正方形的判定；二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；等腰三角形．