【正文】 經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示．銷售量p（件）P=50—x銷售單價q（元/件）當(dāng)1≤x≤20時，當(dāng)21≤x≤40時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件（2）（3）這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元【解析】【分析】（1）分別將q=35代入銷售單價關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，求出x即可．（2）應(yīng)用利潤=銷售收入－銷售成本列式即可．（3）應(yīng)用二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別求出最大值比較即得所求．【詳解】解：（1）當(dāng)1≤x≤20時，令，解得；；當(dāng)21≤x≤40時，令，解得；．∴第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件．（2）當(dāng)1≤x≤20時，；當(dāng)21≤x≤40時，．∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．（3）當(dāng)1≤x≤20時，∵，∴當(dāng)x=15時，y有最大值y1，且y1=．當(dāng)21≤x≤40時，∵26250＞0，∴隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x=21時，有最大值y2，且．∵y1＜y2，∴這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元．14．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標(biāo)原點）．若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設(shè)M是點C，F(xiàn)間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標(biāo)為m．（1）直接寫出點P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）當(dāng)m為何值時，△MAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；（3）求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)．【答案】（1）點P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)m=0時，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【解析】【分析】（1）代入y=c可求出點C、P的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A、B的坐標(biāo)，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進而可得出點P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點F的坐標(biāo)，過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，由點M的橫坐標(biāo)可得出點M、E的坐標(biāo)，進而可得出ME的長度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點M在線段OP上方時，由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當(dāng)點C、M重合時，∠MPO=∠POA，由此可找出點M的坐標(biāo)；②當(dāng)點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設(shè)點D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進而可得出點D的坐標(biāo)，由點P、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式，再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組求出點M的坐標(biāo)．綜上此題得解．【詳解】（1）當(dāng)y=c時，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，∴點C的坐標(biāo)為（0，c），點P的坐標(biāo)為（b，c），∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴點P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)y=0時，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴點F的坐標(biāo)為（4，0），過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，如圖1所示，∵點M的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤4），∴點M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），點E的坐標(biāo)為（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，∵﹣＜0，0≤m≤4，∴當(dāng)m=0時，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時，S取最大值，最大值為5；（3）①當(dāng)點M在線段OP上方時，∵CP∥x軸，∴當(dāng)點C、M重合時，∠MPO=∠POA，∴點M的坐標(biāo)為（0，4）；②當(dāng)點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設(shè)點D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=，∴點D的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，解得：，∴直線PD的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，．∴點M的坐標(biāo)為（，）．綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次（二次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值；（2）利用三角形的面積公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分點M在線段OP上方和點M在線段OP下方兩種情況求出點M的坐標(biāo)．15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當(dāng)k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）把點C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長，即可得證。（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；②設(shè)點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進行計算即可得解。【詳解】解：（1）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，m2﹣1），則。∵直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標(biāo)為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。∴AO=AM。（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時，設(shè)點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16?！??！酂o論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)1。