【正文】 若點是位于直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的坐標；⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】⑴；⑵當 ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當時，無論取任何實數(shù)，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關系列出關于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，當a=時，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對稱軸為直線x=1， 當y=0時，x1=1，x2=3，∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，設F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關鍵是能夠判斷出當平行四邊形MANB的面積最大時，△ABM的面積最大，且此時線段MK的長度也最大．14．如圖，已知拋物線過點A(,3) 和B(3,0)，過點A作直線AC//x軸，交y軸與點C．（1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標； （3）拋物線上是否存在點Q，使得?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）；（2）P點坐標為（4 ,6）或（, ）；（3）Q點坐標（3，0）或（2，15）【解析】【分析】（1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；（2）設P坐標為，表示出AD與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標；（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h，過O作OM⊥OA，截取OM=h,與y軸交于點N，分別確定出M與N坐標，利用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出Q坐標即可．【詳解】（1）把，和點，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當在直線上方時，設坐標為，則有，當時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當點時，也滿足；當在直線下方時，同理可得：的坐標為，綜上，的坐標為，或，或，或；（3）在中，，根據(jù)勾股定理得：， ，，邊上的高為，過作，截取，過作，交軸于點，如圖所示：在中，即，過作軸，在中，，即，設直線解析式為，把坐標代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點，使得，此時點的坐標為，或，．【點睛】二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，點到直線的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．15．如圖1，四邊形是矩形，點的坐標為，沿以每秒1個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，沿以每秒2個單位長度的速度向點運動，.（1）當時，線段的中點坐標為________；（2）當與相似時，求的值；（3）當時，拋物線經(jīng)過、兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，使，若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）的中點坐標是；（2）或；（3），.【解析】分析：（1）先根據(jù)時間t=2，和速度可得動點P和Q的路程OP和AQ的長，再根據(jù)中點坐標公式可得結論；（2）根據(jù)矩形的性質得：∠B=∠PAQ=90176。，所以當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：①當△PAQ∽△QBC時，②當△PAQ∽△CBQ時，分別列方程可得t的值；（3）根據(jù)t=1求拋物線的解析式，根據(jù)Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，∴KM=KQ，KE⊥MQ，畫出符合條件的點D，證明△KEQ∽△QMH，列比例式可得點D的坐標，同理根據(jù)對稱可得另一個點D．詳解：（1）如圖1，∵點A的坐標為（3，0），∴OA=3，當t=2時，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P（2，0），Q（3，4），∴線段PQ的中點坐標為：（，），即（，2）；故答案為：（，2）；（2）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，∴∠B=∠PAQ=90176?！喈敗鰿BQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：①當△PAQ∽△QBC時，∴，4t215t+9=0，（t3）（t）=0，t1=3（舍），t2=，②當△PAQ∽△CBQ時，∴，t29t+9=0，t=，∵0≤t≤6，＞7，∴x=不符合題意，舍去，綜上所述，當△CBQ與△PAQ相似時，t的值是或；（3）當t=1時，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線：y=x23x+2=（x）2，∴頂點k（，），∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x軸，作拋物線對稱軸，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設DQ交y軸于H，∵∠HMQ=∠QEK=90176。，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式為：y=x+4，則，x23x+2=x+4，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；同理，在M的下方，y軸上存在點H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，由對稱性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=x，則，x23x+2=x，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；綜上所述，點D的坐標為：D（，）或（，）．點睛：本題是二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，主要考查相似三角形的判定和性質的綜合應用，三角形和四邊形的面積，二次函數(shù)的最值問題的應用，函數(shù)的交點等知識，本題比較復雜，注意用t表示出線段長度，再利用相似即可找到線段之間的關系，代入可解決問題．