【正文】 24）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，涉及到待定系數法、二次函數的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強，解題的關鍵是認真分析，弄清解題的思路有方法.13．如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，且，拋物線圖象經過三點．（1）求兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）若點是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點，當的值最大時，求此時點的坐標及的最大值．【答案】解：（1）點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，﹣4）；；（2）拋物線的表達式為： ；（3）PD有最大值，當x＝2時，其最大值為，此時點P（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）拋物線的表達式為： ，即可求解；（3），即可求解．【詳解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，﹣4）；（2）拋物線的表達式為：，即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故拋物線的表達式為： ；（3）直線CA過點C，設其函數表達式為：，將點A坐標代入上式并解得：k＝1，故直線CA的表達式為：y＝x﹣4，過點P作y軸的平行線交AC于點H，∵OA＝OC＝4， ，∵ ，設點 ，則點H（x，x﹣4），∵ ＜0，∴PD有最大值，當x＝2時，其最大值為，此時點P（2，﹣6）．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、解直角三角形、圖象的面積計算等，其中（3），用函數關系表示PD，是本題解題的關鍵14．如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點兩點.⑴求拋物線的函數表達式；⑵若點是位于直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的坐標；⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】⑴；⑵當 ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當時，無論取任何實數，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數法，將A，B的坐標代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數的解析式；（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據BF=BN，CF=CN兩組等量關系列出關于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數表達式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據二次函數的性質可知，當a=時，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對稱軸為直線x=1， 當y=0時，x1=1，x2=3，∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，設F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點睛】此題考查了待定系數法求解析式，還考查了用函數思想求極值等，解題關鍵是能夠判斷出當平行四邊形MANB的面積最大時，△ABM的面積最大，且此時線段MK的長度也最大．15．如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點C，D．（1）求直線和拋物線的表達式；（2）動點P從點O出發(fā)，在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在點N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、．（3）N點坐標為（﹣2，﹣2），M點坐標為（﹣，﹣），. 【解析】分析：（1）利用待定系數法求解可得；（2）先求得點D的坐標，過點D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質逐一求解可得；（3）通過作對稱點，將折線轉化成兩點間距離，應用兩點之間線段最短．詳解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴拋物線解析式為：y=，∵過點B的直線y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式為y=﹣；（2）由得交點坐標為D（﹣5，4），如圖1，過D作DE⊥x軸于點E，作DF⊥y軸于點F，當P1D⊥P1C時，△P1DC為直角三角形，則△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，當P2D⊥DC于點D時，△P2DC為直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；當P3C⊥DC時，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=，∴t的值為、．（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，在拋物線上取點D的對稱點D′，過點D′作D′N⊥EF于點N，交拋物線對稱軸于點M過點N作NH⊥DD′于點H，此時，DM+MN=D′N最小．則△EOF∽△NHD′設點N坐標為（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，則N點坐標為（﹣2，﹣2），求得直線ND′的解析式為y=x+1，當x=﹣時，y=﹣，∴M點坐標為（﹣，﹣），此時，DM+MN的值最小為==2．點睛：本題是二次函數和幾何問題綜合題，應用了二次函數性質以及轉化的數學思想、分類討論思想．解題時注意數形結合．