【正文】 A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），將點(diǎn)B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），∴k=1；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H，則∠QHN=∠OMQ=90176。，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負(fù)值舍去），當(dāng)x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點(diǎn)M（，0），∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當(dāng)x=4時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；綜上點(diǎn)M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.14．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且與直線關(guān)于的對稱直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是 ______；（2）直線與直線交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過點(diǎn)作直線與線段、分別交于點(diǎn)，使得與相似．①當(dāng)時，求的長；②若對于每一個確定的的值，有且只有一個與相似，請直接寫出的取值范圍 ______．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；（2）由對稱軸可知點(diǎn)C（2，），A（，0），點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當(dāng)n=時，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當(dāng)PQ∥AB時，△DPQ∽△DAB，DP=9；當(dāng)PQ與AB不平行時，DP=9；②當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時，DB=3，DN=，所以N（2，），則有且只有一個△DPQ與△DAB相似時，＜n＜.【詳解】（1）頂點(diǎn)為；故答案為；（2）對稱軸，由已知可求，點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，則關(guān)于對稱的直線為，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，；當(dāng)與不平行時，，；綜上所述；②當(dāng)，時，，，∴有且只有一個與相似時，；故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．已知函數(shù)（為常數(shù)）（1）當(dāng)，①點(diǎn)在此函數(shù)圖象上，求的值；②求此函數(shù)的最大值．（2）已知線段的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段只有一個交點(diǎn)時，直接寫出的取值范圍．（3）當(dāng)此函數(shù)圖象上有4個點(diǎn)到軸的距離等于4，求的取值范圍．【答案】（1）①②；（2），時，圖象與線段只有一個交點(diǎn)；（3）函數(shù)圖象上有4個點(diǎn)到軸的距離等于4時，或．【解析】【分析】（1）①將代入；②當(dāng)時，當(dāng)時有最大值為5；當(dāng)時，當(dāng)時有最大值為；故函數(shù)的最大值為；（2）將點(diǎn)代入中，得到，所以時，圖象與線段只有一個交點(diǎn)；將點(diǎn)）代入和中，得到，所以時圖象與線段只有一個交點(diǎn)；（3）當(dāng)時，得到；當(dāng)時，得到，當(dāng)時，．【詳解】解：（1）當(dāng)時，①將代入，∴；②當(dāng)時，當(dāng)時有最大值為5；當(dāng)時，當(dāng)時有最大值為；∴函數(shù)的最大值為；（2）將點(diǎn)代入中，∴，∴時，圖象與線段只有一個交點(diǎn)；將點(diǎn)代入中，∴，將點(diǎn)代入中，∴，∴時圖象與線段只有一個交點(diǎn)；綜上所述：，時，圖象與線段只有一個交點(diǎn)；（3）當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，；∴函數(shù)圖象上有4個點(diǎn)到軸的距離等于4時，或．【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：.