【正文】 得，．∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）．14．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點坐標和B的坐標，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點Q的坐標，設拋物線的解析式為，把點A坐標代入求出a的值即可；②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點Q坐標，設拋物線的解析式為，把點C坐標代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當x=﹣1時，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當y=0時，解得：x=177。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時，y=，∴頂點P的坐標為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點A和點C是拋物線上的對稱點，∴AM=MC=1，∴點Q的坐標為（﹣2，），設以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，∴點C坐標為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點Q坐標為（0，），設以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．15．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標原點）．若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設M是點C，F(xiàn)間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標為m．（1）直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式；（2）當m為何值時，△MAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；（3）求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標．【答案】（1）點P的坐標為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當m=0時，S取最小值，最小值為；當m=3時，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為（0，4）或（，）．【解析】【分析】（1）代入y=c可求出點C、P的坐標，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點F的坐標，過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標，進而可得出ME的長度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；（3）分兩種情況考慮：①當點M在線段OP上方時，由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當點C、M重合時，∠MPO=∠POA，由此可找出點M的坐標；②當點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設點D的坐標為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進而可得出點D的坐標，由點P、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式，再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組求出點M的坐標．綜上此題得解．【詳解】（1）當y=c時，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，∴點C的坐標為（0，c），點P的坐標為（b，c），∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴點P的坐標為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當y=0時，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴點F的坐標為（4，0），過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，如圖1所示，∵點M的橫坐標為m（0≤m≤4），∴點M的坐標為（m，﹣m2+3m+4），點E的坐標為（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，∵﹣＜0，0≤m≤4，∴當m=0時，S取最小值，最小值為；當m=3時，S取最大值，最大值為5；（3）①當點M在線段OP上方時，∵CP∥x軸，∴當點C、M重合時，∠MPO=∠POA，∴點M的坐標為（0，4）；②當點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設點D的坐標為（n，0），則DO=n，DP=，∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=，∴點D的坐標為（，0），設直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，解得：，∴直線PD的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，．∴點M的坐標為（，）．綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為（0，4）或（，）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次（二次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值；（2）利用三角形的面積公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分點M在線段OP上方和點M在線段OP下方兩種情況求出點M的坐標．