【正文】 得，．∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，是（，﹣4）或（，）．14．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為B，是否存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點(diǎn)（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出a的值即可；②頂點(diǎn)Q在y軸上，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點(diǎn)Q坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=177。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時(shí)，y=，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對(duì)邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，∴AM=MC=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點(diǎn)A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點(diǎn)Q在y軸上，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點(diǎn)C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．15．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)M是點(diǎn)C，F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m．（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，△MAB面積S取得最小值和最大值？請(qǐng)說明理由；（3）求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【解析】【分析】（1）代入y=c可求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，過點(diǎn)M作ME∥y軸，交直線AB于點(diǎn)E，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)M、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出ME的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，由此可找出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)P、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式，再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．綜上此題得解．【詳解】（1）當(dāng)y=c時(shí)，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，c），∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），過點(diǎn)M作ME∥y軸，交直線AB于點(diǎn)E，如圖1所示，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤4），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，∵﹣＜0，0≤m≤4，∴當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5；（3）①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，∵CP∥x軸，∴當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）；②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，解得：，∴直線PD的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次（二次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值；（2）利用三角形的面積公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分點(diǎn)M在線段OP上方和點(diǎn)M在線段OP下方兩種情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．