20xx-20xx中考數(shù)學(xué)易錯題精選-二次函數(shù)練習(xí)題及答案解析-資料下載頁
2025-03-30 22:21本頁面
【正文】 交于P、 Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ.①若點P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D 的坐標(biāo)；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=x2+2x+3；（2）①點D（ ）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）（I）由點P的橫坐標(biāo)可得出點P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），則點E的坐標(biāo)為（x，x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（II）假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，則點Q的橫坐標(biāo)為4+t，進而可得出點P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），則點E的坐標(biāo)為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+4（t+2）x2t28t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達式為y=x2+2x+3．（2）（I）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為時，點Q的橫坐標(biāo)為，∴此時點P的坐標(biāo)為（，），點Q的坐標(biāo)為（，）．設(shè)直線PQ的表達式為y=mx+n，將P（，）、Q（，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達式為y=x+．如圖②，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），則點E的坐標(biāo)為（x，x+），∴DE=x2+2x+3（x+）=x2+3x+，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+6x+=2（x）2+8．∵2＜0，∴當(dāng)x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標(biāo)為（，）．（II）假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，則點Q的橫坐標(biāo)為4+t，∴點P的坐標(biāo)為（t，t2+2t+3），點Q的坐標(biāo)為（4+t，（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y=2（t+1）x+t2+4t+3．設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），則點E的坐標(biāo)為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=x2+2x+3[2（t+1）x+t2+4t+3]=x2+2（t+2）xt24t，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+4（t+2）x2t28t=2[x（t+2）]2+8．∵2＜0，∴當(dāng)x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=2x2+4（t+2）x2t28t．14．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，3），B（﹣4，﹣）兩點．（1）求b，c的值．（2）二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點，求公共點的坐標(biāo)；若沒有，請說明情況．【答案】（1）；（2）公共點的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把點A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求得b、c的值；（2）利用根的判別式進行判斷該函數(shù)圖象是否與x軸有交點，由題意得到方程﹣+3=0，通過解該方程求得x的值即為拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分別代入y=﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，該拋物線解析式為：y=﹣x2+x+3，△=（）2﹣4（﹣）3=＞0，所以二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸有公共點，∵﹣x2+x+3=0的解為：x1=﹣2，x2=8，∴公共點的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（8，0）．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．注意拋物線解析式與一元二次方程間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．15．一次函數(shù)y＝x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為D．①若點D與點C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．【答案】（1）點C（2，）；（2）①y＝x2－x； ②y＝－x2＋2x＋．【解析】試題分析：（1）求得二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c對稱軸為直線x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得點C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點D與點C關(guān)于x軸對稱即可得點D的坐標(biāo)，并且求得CD的長，設(shè)A（m，m） ，根據(jù)S△ACD＝3即可求得m的值，即求得點A的坐標(biāo)，＝ax2－4ax＋c得方程組，解得a、c的值即可得二次函數(shù)的表達式.②設(shè)A（m，m）（m2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，根據(jù)勾股定理用m表示出AC的長，根據(jù)△ACD的面積等于10可求得m的值，即可得A點的坐標(biāo)，分兩種情況：第一種情況，若a＞0，則點D在點C下方，求點D的坐標(biāo)；第二種情況，若a＜0，則點D在點C上方，求點D的坐標(biāo)，分別把A、D的坐標(biāo)代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函數(shù)表達式.試題解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x＝2．當(dāng)x＝2時，y＝x＝，∴C（2，）．（2）①∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴D（2，－），∴CD＝3.設(shè)A（m，m） （m2），由S△ACD＝3，得3（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.∴y＝x2－x.②設(shè)A（m，m）（m2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，AC＝＝（2－m），∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.由S△ACD＝10得（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．∴A（－2，－），CD＝5.若a＞0，則點D在點C下方，∴D（2，－），由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.若a＜0，則點D在點C上方，∴D（2，），由A（－2，－）、D（2，）得解得∴y＝－x2＋2x＋.考點：二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題.
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