20xx-20xx中考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含解析)之二次函數(shù)含答案-資料下載頁(yè)
2025-03-30 22:21本頁(yè)面
【正文】 ，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時(shí)；⑶存在. 當(dāng)時(shí)，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，均有. 理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線(xiàn)AB于K，求出直線(xiàn)AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線(xiàn)y=的垂線(xiàn)，垂足為N，H，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)F，使拋物線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線(xiàn)y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線(xiàn)C函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線(xiàn)AB于K，將點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時(shí)，MK有最大長(zhǎng)度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點(diǎn)F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1， 當(dāng)y=0時(shí)，x1=1，x2=3，∴拋物線(xiàn)與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線(xiàn)y=的垂線(xiàn)，垂足為N，H，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)F，使拋物線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線(xiàn)y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，△ABM的面積最大，且此時(shí)線(xiàn)段MK的長(zhǎng)度也最大．14．如圖，已知拋物線(xiàn)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）。（1）求直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)在x軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?）（2）（3）P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的解析式。（2）構(gòu)造MN關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入，得，得?！嘀本€(xiàn)BC的解析式為。將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。∴拋物線(xiàn)的解析式。（2）∵點(diǎn)M是拋物線(xiàn)在x軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)M。∵點(diǎn)N是直線(xiàn)BC上與點(diǎn)M橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，∴N?！弋?dāng)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)在x軸下方時(shí)，N的縱坐標(biāo)總大于M的縱坐標(biāo)?！??！郙N的最大值是。（3）當(dāng)MN取得最大值時(shí)，N?！叩膶?duì)稱(chēng)軸是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。∴。由勾股定理可得。設(shè)BC與PQ的距離為h，則由S1=6S2得：，即。如圖，過(guò)點(diǎn)B作平行四邊形CBPQ的高BH，過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線(xiàn)交點(diǎn)E ，則BH=，EH是直線(xiàn)BC沿y軸方向平移的距離。易得，△BEH是等腰直角三角形，∴EH=。∴直線(xiàn)BC沿y軸方向平移6個(gè)單位得PQ的解析式：或。當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，解得或。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）。當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，解得或。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－3）或（3，－4）。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。15．如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（，0）、點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1），連接BC．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)N為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t（），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）若且時(shí)△OPN∽△COB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】試題分析：（1）可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，用待定系數(shù)法就可得到結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在x軸的上方，則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程，就可得到答案．試題解析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把C（0，1）代入可得：，∴，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為：，即；（2）當(dāng)時(shí)，＞0，∴NP===，∴S=AB?PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①當(dāng)時(shí)，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)0＜t＜2時(shí)，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，2）．綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（1，2）．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；3．相似三角形的性質(zhì)．
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