20xx-20xx中考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含解析)之二次函數(shù)含答案-資料下載頁
2025-03-30 22:21本頁面
【正文】 ，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當(dāng)時，無論取任何實數(shù)，均有. 理由見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設(shè)點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時，MK有最大長度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對稱軸為直線x=1， 當(dāng)y=0時，x1=1，x2=3，∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時，△ABM的面積最大，且此時線段MK的長度也最大．14．如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）。（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標?！敬鸢浮浚?）（2）（3）P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式。（2）構(gòu)造MN關(guān)于點M橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可求得點P的坐標?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)直線BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。∴直線BC的解析式為。將B（5，0），C（0，5）代入，得，得?！鄴佄锞€的解析式。（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，∴設(shè)M?！唿cN是直線BC上與點M橫坐標相同的點，∴N?！弋?dāng)點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標?！唷！郙N的最大值是。（3）當(dāng)MN取得最大值時，N。∵的對稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）?！郃B=4?！唷Ｓ晒垂啥ɡ砜傻?。設(shè)BC與PQ的距離為h，則由S1=6S2得：，即。如圖，過點B作平行四邊形CBPQ的高BH，過點H作x軸的垂線交點E ，則BH=，EH是直線BC沿y軸方向平移的距離。易得，△BEH是等腰直角三角形，∴EH=。∴直線BC沿y軸方向平移6個單位得PQ的解析式：或。當(dāng)時，與聯(lián)立，得，解得或。此時，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）。當(dāng)時，與聯(lián)立，得，解得或。此時，點P的坐標為（2，－3）或（3，－4）。綜上所述，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。15．如圖，拋物線與x軸交于點A（，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設(shè)點N的橫坐標為t（），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）若且時△OPN∽△COB，求點N的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】試題分析：（1）可設(shè)拋物線的解析式為，用待定系數(shù)法就可得到結(jié)論；（2）當(dāng)時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關(guān)于t的方程，解這個方程，就可得到答案．試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為，把C（0，1）代入可得：，∴，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：，即；（2）當(dāng)時，＞0，∴NP===，∴S=AB?PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①當(dāng)時，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此時點N的坐標為（，）；②當(dāng)0＜t＜2時，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．綜上所述：點N的坐標為（，）或（1，2）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；3．相似三角形的性質(zhì)．
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