20xx年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期同步測試第3單元湘教版選修21高二-資料下載頁
2025-03-15 03:52本頁面
【正文】 G∥B1C，F(xiàn)G∥AB1來證明，而我們借用向量法使問題代數(shù)化，運(yùn)算簡潔，思路簡單明了。) （1）分析：要證平面EFG平面ACB1，由題設(shè)知只要證BD1垂直平面ACB1即可。證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5，不妨設(shè)正方體棱長為a，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F(xiàn)（0，yF，a），G（0，0，zG）。∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵=(－a，－a，a)(0，a，a)=0，∴⊥ ，同理 ⊥，而與不共線且相交于點(diǎn)A，∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，∴ 平面EFG∥平面ACB1；又因?yàn)椤推矫鍱FG，所以 ⊥，則=0， 即 (－a，－a，a)(－xE，yF，0)=0，化簡得 xE－yF=0；同理 xE－zG=0, yF－zG=0，易得 ==， ∴ △EFG為正三角形。 （2）解：因?yàn)椤鱁FG是正三角形，顯然當(dāng)△EFG與△ A1C1D重合時(shí)，△EFG的邊最長，其面積也最大，此時(shí)，=A1C1=a， ∴= = sin600= (a)2=a2 。此時(shí)EF與B1C的距離即為A1C1與B1C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B1到平面 A1C1D的距離，記A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，作O1H∥D1B并交BB1于點(diǎn)H，則O1H⊥平面A1C1D，垂足為O1，則O1(，a)，H(a，a，)，而作為平面A1C1D的法向量，所以異面直線EF與B1C的距離設(shè)為d是d = ==a。(證明（2）時(shí)一般要找到求這兩平面距離的兩點(diǎn)，如圖5*，而這兩點(diǎn)為K與J，在立體圖形中較難確定，且較難想到通過作輔助線DO1，OB1來得到，加上在如此復(fù)雜的空間圖形中容易思維混亂，但只要借助平面法向量求線段的射影長度的思想，結(jié)合題設(shè)，使思路清晰明了，最終使問題的解決明朗化；把握這種思想，不管是空間線線距離，線面距離，面面距離問題，一般我們都能轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線或點(diǎn)面距離，再借助平面法向量很好地解決了
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