【文章內容簡介】 【考點】 新定義，旋轉的性質，矩形的性質，含 300角直角三角形的性質，平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，公式法解一元二次方。 【分析】 （ 1）根據題意得： △ABC∽△AB′C′ ， ∴S △AB′C′ ： S△ABC = ? ?2 2AB = 3 3AB??? ?????， ∠ B=∠B′ 。 ∵∠ANB=∠B′NM ， ∴∠BMB′=∠BAB′=60176。 。 （ 2）由四邊形 ABB′C′ 是矩形，可得 ∠BAC′=90176。 ，然后由 θ=∠CAC′=∠BAC′ ∠BAC ，即可求得 θ 的度數，又由含 30176。 角的直角三角形的性質，即可求得 n的值。 （ 3）由四邊形 ABB′C′ 是平行四邊形，易求得 θ=∠CAC′=∠ACB=72176。 ，又由 △ABC∽△B′BA ，根據相似三角形的對應邊成比例，易得 AB2=CB?BB′=CB （ BC+CB′ ），繼而求得答案。 4. （ 2020浙江 臺州 14分 ） 定義： P、 Q分別是兩條線段 a和 b上任意一點，線段 PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離 . 已知 O(0， 0)， A(4， 0)， B(m， n)， C(m+4， n)是平面直角系中四點 . （ 1）根據上述定義，當 m=2， n=2時，如圖 1，線段 BC與線段 OA的距離是 _____, 當 m=5， n=2時，如圖 2，線段 BC與線段 OA的距離 (即線段 AB的長 )為 ______ （ 2）如圖 3，若點 B落在圓心為 A，半徑為 2的圓上，線段 BC與線段 OA的距離記為 d，求 d關于 m的函數解析式 . （ 3）當 m的值變化時，動線段 BC 與線段 OA的距離始終為 2，線段 BC的中點為 M. ① 求出點 M隨線段 BC運動所圍成的封閉圖形的周長 。 ② 點 D的坐標為 (0， 2)， m≥0 ， n≥0 ，作 MH⊥x 軸 ,垂足為 H，是否存在 m的值，使以 A、 M、 H為頂點的三角形與 △AOD 相似，若存在，求出 m的值；若不存在，請說明理由 . 【答案】解：（ 1） 2； 5 。 （ 2） ∵ 點 B落在圓心為 A，半徑為 2的圓上， ∴2≤m≤6 。 當 4≤m≤6 時，根據定義， d=AB=2。 當 2≤m ＜ 4時，如圖，過點 B作 BE⊥OA 于點 E， 則根據定義， d=EB。 ∵A(4 ， 0)， B(m， n)， AB=2， ∴EA=4 － m。 ∴ 2 2 2 2d E B A B E A 2 4 m? ? ? ? ?（ － ） 2m 8m 12? ? ? ? 。 ∴ ? ?? ?2m 8m 12 2 m 4d2 4 m 6? ? ? ? ??? ????? 。 （ 3） ① 如圖，由（ 2）知，當點 B在 ⊙O 的左半圓時， d=2 ，此時，點 M是圓弧 M1M2，長 2π ； 當點 B從 B1到 B3時， d=2 ，此時，點 M是線段 M1M3，長為 8； 同理，當點 B在 ⊙O 的左半圓時，圓弧 M3M4長 2π ；點 B從 B2到 B4時，線段 M1M3=8。 ∴ 點 M隨線段 BC運動所圍成的封閉圖形的周長為 16+4π 。 ② 存在。如圖，由 A(4， 0)， D(0， 2), 得 OD 2 1OA 4 2??。 （ i） ∵M 1H1=M2H2=2， ∴ 只要 AH1=AH2=1, 就有 △AOD∽△M 1H1A 和△AOD∽△M 2H2A，此時 OH1=5， OH2=3。 ∵ 點 M為線段 BC的中點 , BC=4， ∴OH 1=5時， m=3； OH2=3時， m=1。 （ ii）顯然，當點 M3與點 D重合時， △AOD∽△AH 3M3，此時 m=－ 2, 與題設 m≥0 不符。 （ iii）當點 M4右側圓弧上時，連接 FM4，其中點 F是圓弧的圓心，坐標為（ 6， 0）。 設 OH4=x, 則 FH4= x－ 6。 又 FM4=2， ∴ ? ? 22 2 24 4 4 4M H F M F H 4 x 6 = x + 1 2 x 3 2? ? ? ? ? ? ?。 若 △AOD∽△A H 2M2，則 4244AH x 4 2=M H 1x + 1 2 x 3 2?? ??,即 23x 32x+80=0? , 解得1220x = x =43 ，（不合題意，舍去）。此時 m=143 。 若 △AOD∽△M 2H2 A，則 4244AH x 4 1=M H 2x + 1 2 x 3 2?? ??,即 25x 44x+96=0? , 解得1224x = x =45 ，（不合題意，舍去）。 此時1 2 4 6x 6 = 6 = 055? ? ?,點 M4在圓弧的另一半上，不合題意，舍去。 綜上所述，使以 A、 M、 H為頂點的三角形與 △AOD 相似的 m的值為： m=1， m=3， m=143 。 【考點】 新定義，點到直線的距離，兩平行線間的距離，勾股定理，求函數關系式，圖形的平移性質，相似三角形的判定和性質。 【分析】 （ 1）根據定義，當 m=2， n=2時，線段 BC與線段 OA的距離是點 A到 BC的距離 2。當 m=5， n=2時，線段 BC與線段 OA的距離 (即線段 AB的長 ) 可由勾股定理求出： ? ?2 25 4 + 2 5??。 （ 2）分 2≤m ＜ 4和 4≤m≤6 兩種情況討論即 可。 （ 3） ① 由（ 2）找出點 M隨線段 BC運動所圍成的封閉圖形即可。 ② 由（ 2）分點 M在線段上和圓弧上兩種情況討論即可。 5. （ 2020浙江紹興 10分） 聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。 定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心。 舉例：如圖 1，若 PA=PB，則點 P為 △ABC 的準外心。 應用：如圖 2， CD為等邊三角形 ABC的高，準外心 P在高 CD 上，且 PD=12 AB，求 ∠APB 的度數。 探究：已知 △ABC 為直角三角形，斜邊 BC=5， AB=3，準外心 P在 AC邊上，試探究 PA的長。 6. 1. （ 2020 江蘇常州 7分） 平面上兩條直線 AB、 CD相交于點 O，且 ∠BOD=150 0（如圖），現按如下要求規(guī)定此平面上點的 “ 距離坐標 ” ： （ 1）點 O的 “ 距離坐標 ” 為（ 0， 0）； （ 2）在直線 CD上，且到直線 AB的距離為 p（ p＞ 0）的點的 “ 距離坐標 ” 為（ p， 0）；在直線 AB上，且到直線 CD的距離為 q（ q＞ 0）的點的 “ 距離坐標 ” 為（ 0， q）； （ 3）到直線 AB、 CD 的距離分別為 p、 q（ p＞ 0， q＞ 0）的點的 “ 距離坐標 ” 為（ p， q）。 設 M為此平面上的點，其 “ 距離坐標 ” 為（ m， n），根據上述 對點的 “ 距離坐標 ” 的規(guī)定，解決下列問題： （ 1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）： ① 滿足 m=1且 n=0的點的集合； ② 滿足 m=n的點的集合； （ 2）若點 M在過點 O且與直線 CD 垂直的直線 l上，求 m與 n所滿足的關系式。 （說明：圖中 OI長為一個單位長） 【答案】 解：（ 1） ① 如圖 1中， F1， F2即為所求； ② 如圖 2中，兩條角平分線即為所求。 （ 2）如圖 3，過點 M作 MH⊥AB 于點 H。則 根據定義， MH=m， MO=n。 ∵∠BOD=150 0， ∠DOM=90 0（ ∵l⊥CD ）， ∴ ∠HOM=60 0。 在 Rt△MHO 中， MHsin HOM MO??， ∴ 0 msin60 n? ，即 3m2n? ，即 2m 3n? 。 ∴ m 與 n所滿足的關系式為 2m 3n? 。 【考點】 新定義，作圖（復雜作圖），含 300角直角三角形的性質，角平分線的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值。 【分析】 （ 1） ① 以點 I為圓心， OI為半徑畫圓交 AB于 點 E；以點 O為圓心， OE為半徑畫圓交 CD于點 F1，F2，則 F1， F2即為所求。 由作法知， OF1=2OI=2，由 ∠BOD=150 0 知 ∠EOF 1=300，根據含 300 角直角三角形中 300角所對邊是斜邊一半的性質，得點 F1到 AB的距離 m =1，同時點 F1在 CD上，即 n=0。同理， F2的證明。 ② 分別作 ∠BOD 和 ∠BOC 的平分線，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，兩角平分線上的點滿足 m=n，故兩條角平分線即為所求。 （ 2）由已知和銳角三角函數定義即可得出 m與 n所滿足的關系式。 7. （ 2020江蘇無錫 8分） 對于平面直角坐標系中的任意兩點 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），我們把 |x1﹣ x2|+|y1﹣ y2|叫做 P P2兩點間的直角距離，記作 d（ P1， P2）． （ 1）已知 O為坐標原點，動點 P（ x， y）滿足 d（ O， P） =1，請寫出 x與 y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點 P所組成的圖形； （ 2）設 P0（ x0， y0）是一定點， Q（ x， y）是直線 y=ax+b上的動點，我們把 d（ P0， Q）的最小值叫做 P0到直線 y=ax+b的直角距離．試