復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)數(shù)及其運(yùn)算(編輯修改稿)
2024-09-14 08:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ?且張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 167。 2 復(fù)變函數(shù) 一、復(fù)平面上的曲線(xiàn)方程 0),( ?yxF?????)()(tyytxx平面曲線(xiàn)有直角坐標(biāo)方程 和參數(shù)方程 兩種形式。 張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform i2zzy,2zzx ???? 0),( ?yxF由 代入 知 曲線(xiàn) C的方程可改寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式 0)2,2( ???izzzzFiyxz ?? )()()( tiytxtz ??)(tzz ?若令 ，而 ，則 曲線(xiàn) C的參數(shù)方程等價(jià)于復(fù)數(shù)形式 。 張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )()z t x t iy t a t b x t y tt z t? ? ? ?、 連 續(xù) 曲 線(xiàn) — — 設(shè) ， 其 中是 實(shí) 變 量 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 則 表 示 復(fù) 平 面 上 的 連 續(xù) 曲 線(xiàn) C 。二、簡(jiǎn)單曲線(xiàn)與光滑曲線(xiàn) 222 [ , ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0( ) ( ) ( )t a b x t y tz t z a z b C??? ? ? ?、 光 滑 曲 線(xiàn) － 若 對(duì) ， 有 ，則 稱(chēng) 為 光 滑 曲 線(xiàn) 。 稱(chēng) 和 為 曲 線(xiàn) 的 起 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) 。1 2 1 2 1 2 13 , ( ) ( ) ( )a t b a t b t t z t z t z t C? ? ? ? ?、若對(duì) ，當(dāng) 而有 ＝ 時(shí)，點(diǎn) 稱(chēng)為曲線(xiàn) 的重點(diǎn)。沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線(xiàn)稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)或約當(dāng)（Ja r d a n ）曲線(xiàn)。張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 三、區(qū)域 去心鄰域 )( 0zN ?區(qū)域及分類(lèi) 內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集 區(qū)域 —— 連通的開(kāi)集。 ???有洞或有瑕點(diǎn)多連通域無(wú)瑕點(diǎn)無(wú)洞單連通域—、—張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 屬于 D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，在 D內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而收縮成一點(diǎn)。 ???覆蓋不可被半徑有限的圓域無(wú)界域蓋可被半徑有限的圓域覆有界域——注：①閉區(qū)域 的邊界區(qū)域 DDD ?? ，它不是區(qū)域。 ② 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) C把復(fù)平面分為三個(gè)不相交的點(diǎn)集：有界區(qū)域稱(chēng)為 C的內(nèi)部；無(wú)界區(qū)域，稱(chēng)為 C的外部； C，稱(chēng)為內(nèi)部與外部的邊界。 張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 四、復(fù)變函數(shù)的概念 定義 )( zfw ? —— 對(duì)于集合 G中給定的 iyxz ??，總有一個(gè)（或幾個(gè)）確定的復(fù)數(shù) ivuw ?? 與之對(duì)應(yīng)，并稱(chēng) G為定義集合，而 ? ?GzzfwwG ??? ),(|* 稱(chēng)為函數(shù)值集合 (值域 ). ???多值函數(shù)單值函數(shù)分類(lèi) —— 張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù) )( zfw ? 與實(shí)函數(shù)的關(guān)系 ????????????? ??? ??),(),()(),(),( yxvvyxuuzfwvuyxwzff討論一個(gè)復(fù)變函數(shù) )z(fw ?研究?jī)蓚€(gè)實(shí)二元函數(shù) ?????),(),(yxvyxuu復(fù)變函數(shù)的單值性討論 ( , ) , ( , )u x y v x y對(duì) 應(yīng) 的 兩 個(gè) 實(shí) 二 元 函 數(shù) 的 單 值 性 討 論 。張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform )0(1 ?? zzw是否為單值函數(shù)？ iyx yyx xyx iyxiyxzivuw 22222211 ????????????令 ,iyxz ?? ,ivuw ?? 則 2222 , yxyvyxxu??????均為單值的實(shí)二元函數(shù) )0(1 ?? zzw是單值函數(shù)。 故 張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform zw ?2 是單值函數(shù)嗎？ 2 2 2 2( ) 2 ,w u i v u v u v i z x i y? ? ? ? ? ? ? ?由得??????yuvxvu222，均為多值的實(shí)二元函數(shù) 2,x y u ywz ?對(duì) 給 定 ， 存 在 兩 組 與 之 對(duì) 應(yīng) ，故 是 多 值 函 數(shù)張 長(zhǎng) 華 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 4. 映射 復(fù)變函數(shù)的幾何圖形表示 ()y f x x y?實(shí) — 自 變 量 與 因 變 量 都 在 同 一 個(gè) 平 面 內(nèi) 。其 幾 何 描 述 ， 函
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