【文章內(nèi)容簡介】 甚至是直覺的方式，而學校所教授的是書面和符號方法。這兩種符號系統(tǒng)之間的差異是街頭數(shù)學和學校數(shù)學之間的本質(zhì)差異，也是學生學習數(shù)學的困難所在。P3P15都論及小學數(shù)學所應當具有的特點是，“第一，小學數(shù)學具有現(xiàn)實性質(zhì)，數(shù)學來自于現(xiàn)實生活，再運用到現(xiàn)實生活中去。第二，學生應該用積極主動的方式學習數(shù)學，即學生通過熟悉的現(xiàn)實生活，自己逐步建構(gòu)數(shù)學結(jié)論，學生學習數(shù)學是一個‘再創(chuàng)造’的過程。第三，要通過數(shù)學教育，促進學生的一般發(fā)展。P44，“數(shù)學的學習要超越概念、步驟、運用。它包括數(shù)學素養(yǎng)，把數(shù)學看做一種強有力的審視情境的方式。素養(yǎng)不僅指態(tài)度，而且指具有思考的傾向和積極的行動方式。學生的數(shù)學素養(yǎng)體現(xiàn)在他們是否能夠自信地接近目標，樂于探索，具有意志力和興趣，以及能否有反映他們自己思維的傾向性等幾方面?！保绹鴶?shù)學教師國家委員會.第四篇：小學數(shù)學課程與教學論167。167。4具有某些特性的函數(shù)Ⅰ.教學目的與要求、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的圖形特征，并加以合理地應用.Ⅱ.教學重點與難點:重點: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.Ⅲ.講授內(nèi)容一有界函數(shù)定義1設f為定義在D上的函數(shù)．若存在數(shù)M(L)，使得對每一個x206。D有f(x)163。M(f(x)179。L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上的一個上(下)界．根據(jù)定義，f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個有上(下)界的數(shù)集．又若M(L)為f在D上的上(下)界，則任何大于(小于)M(L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界．定義2 設f為定義在D上的函數(shù)．若存在正數(shù)M，使得對每一個x206。D有f(x)163。M，(1)則稱f為D上的有界函數(shù)．根據(jù)定義，f在D上有界，意味著值域f(D)是一個有界集．又按定義不難驗證： f在D上有界的充要條件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的幾何意義是：若f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在直線y=M與y=M之間．例如，正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx為R上的有界函數(shù)，因為對每一個x206。r都有sinx163。1和cosx163。、無下界或無界的定義，．例如，設f為定義在D上的函數(shù)，若對任何M(無論M多大)，都存在x206。D，使得f(x0)M，則稱f為D上的無上界函數(shù)．167。例1 證明f(x)=1x為(0,1]+1證 對任何正數(shù)M，取(0,1]上一點x0=f(x0)=1x0，則有=M+1，f為(0,1]上的無上界函數(shù)．前面已經(jīng)指出，f在其定義域D上有上界，是指值域f(D)為有上界的數(shù)集．于是由確界原理，數(shù)集f(D)有上確界．通常，我們把f(D)的上確界記為supf(x)，并稱之為f在x206。DD上的上確界．類似地，若f在其定義域D上有下界，則f在D上的下確界記為inff(x)．x206。D例2 設f，：(i)inff(x)+infg(x)163。inf{f(x)+g(x)} ；x206。Dx206。Dx206。D(ii)sup{f(x)+g(x)}163。supf(x)+supg(x)．x206。Dx206。Dx206。D證(i)對任何x206。D有inff(x)163。f(x),infg(x)163。g(x)222。inff(x)+infg(x)163。f(x)+g(x)．x206。Dx206。Dx206。Dx206。d上式表明，數(shù)inff(x)+infg(x)是函數(shù)f+g在D上的一個下界，從而x206。Dx206。Dinff(x)+infg(x)163。inf{f(x)+g(x)}．x206。Dx206。Dx206。D(ii)可類似地證明(略)．注例2中的兩個不等式，其嚴格的不等號有可能成立．例如，設f(x)=x,g(x)=x,x206。[1,1]，則有inff(x)=infg(x)=1,supf(x)=supg(x)=1,而|x|163。1|x|163。1|x|163。1|x|163。1inf{f(x)+g(x)}=sup{f(x)+g(x)}=0.|x|163。1|x|163。1二單調(diào)函數(shù)定義3 設f為定義在D上的函數(shù)．若對任何x1,x2206。D,當x1x2時，總 有（i）f(x1)163。f(x2),則稱f為D上的增函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格增函數(shù)；167。(ii)f(x1)179。f(x2)，則稱f為D上的減函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格減函數(shù)；增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格增函數(shù)和嚴格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)．例3 函數(shù)y=x3在R上是嚴格增的．因為對任何，x1,x2206。R,當x1x2時總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因為對任何x1x2206。R，當x1x2時,顯然有[x1]163。 [x2]．但R上不是嚴格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個交點，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設y=f(x),x206。D為嚴格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f定義域f(D)上也是嚴格增(減)函數(shù)．證設f在D上嚴格增．對任一y206。f(D)，有x206。D使f(x)=y．下面證明這樣的x只能有一個．事實上，對于D內(nèi)任一x1185。x，由f在D上的嚴格增性，當x1x2時f(x1)y，當x1x時有f(x1)y，總之f(x1)185。y．這就說明，對每一個y206。f(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一個x206。D，使得f(x)=y，從而函數(shù)f存在反函數(shù)x=fy206。f(D)．1(y)，現(xiàn)證f1也是嚴格增的．任取y1,y2206。f(D)，y1y2設x1=f1(y1),x2=f1(y2)，則y1=f(x1),y2=f(x2)．由y1y2及f的嚴格增性，顯然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函數(shù)f21是嚴格增的．例5 函數(shù)y=x在[—165。，0)上是嚴格減的，有反函數(shù)(按習慣記法)y=x，x206。(0,+165。)。y=x在（0，+165。)上是嚴格增的，有反函數(shù)y=2x,x206。[0，+165。)。但y=x在2167。整個定義域R上不是單調(diào)的，也不存在反函數(shù)．上節(jié)中我們給出了實指數(shù)冪的定義，從而將指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a185。1)的定義域拓廣到整個實數(shù)集R．下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴格單調(diào)性．例6 證明：，y=ax當a1時在R上嚴格增；當0證設a1．給定x1,x2206。R,x1，可取到有理數(shù)r1,r2，使x1r1r2x2，故有ax1=x sup{ar|r為有理數(shù)}163。arar2163。sup{ar|r為有理數(shù)}=ax2，1rx1rx2這就證明了a當0a1時在R上嚴格遞增．注由例6及定理1．2還可得出結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=log嚴格遞增，當0三奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4設D為對稱于原點的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù)．若對每一個x206。D，有f(x)=f(x)(f(x)=f(x))，ax當a1時在(0，+165。)上則稱f為D上的奇(偶)函數(shù)．從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象則關于y軸對稱．例如，正弦函數(shù)y=sinx和正切函數(shù)y=tanx工是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，符號函數(shù)y=sgnx是奇函數(shù)(見圖1—1)．而函數(shù)f(x)= sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因若取x0=p4，則f(x0)=2，f(x0)=0，顯然既不成立f(x0)=f(x0)，也不成立f(x0)=f(x0)．四周期函數(shù)設f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)．若存在s0，使得對一切x206。D有f(x177。s)=f(x)，則稱f為周期函數(shù)，s稱為f的一個周期．顯然，若s為f的周期，則ns(n為正整數(shù))也是f的周期．若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為f的基本周期，或簡稱周期．167。例如，sinx的周期為2p，tanx的周期為p．函數(shù) f(x)=x[x],x206。R的周期為1(見圖1—4)． 常量函數(shù)f(x)=c 是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.(Dirichl)et第五篇：小學教學論復習資料教學是教師教和學生學相統(tǒng)一的特殊的認識和實踐活動，是教師有目的有計劃的指導學生進行學習和促進學生身心素質(zhì)發(fā)展的過程。教學目標：教學活動主體預先確定的在具體教學活動中所要達到的并可觀測的教學結(jié)果。是一種主觀預期的結(jié)果。是可行的能達到的目標?？衫矛F(xiàn)有手段對達成度進行觀測和評價。教學機智：也稱課堂應變能力，指教師在教學過程中隨機應變處理各種突發(fā)問題的能力。要求教師在課堂教學中的反應要快而準，要做到掌握分寸，方法得當，適時、適情、適度。課程：簡單的理解，課程就是學校為學習者設計的教育內(nèi)容的序列。（課程是指實現(xiàn)各級各類學校的教育目標而規(guī)定的教學科目及它的目的、內(nèi)容、范圍、分量和進程的總和，包括為學生個性的全面發(fā)展而營造的學校環(huán)境的全部內(nèi)容。）學科課程：是以學科的形式來組織教學內(nèi)容的一種課程，它以人類對知識經(jīng)驗的科學