【文章內(nèi)容簡介】 xxxx ?????? 32? , 令? ? ? ?? ? ? ? 23 23 213 21 112121 2 xxxx ??????=L ， 10 ??L ， |||)2()2(| 2121 xxLxx ??? ?? 所以 Ax ?)(? 反證法：設(shè)存在兩個 0000 ),2,1(, xxxx ???? 使得 )2( 00 xx ?? , )2( 00 xx ??? ? 。 則由 |||)2()2(| /00/00 xxLxx ??? ?? ， 得 |||| /00/00 xxLxx ??? ，所以 1?L ，矛盾，故結(jié)論成立。 121223 )2()2( xxLxxxx ????? ?? ， 所以 1211 xxLxx nnn ??? ?? ? ? ? ? ? ? ||1|| 1211211 xxLLxxxxxxxx kkkpkpkpkpkkpk ?????????? ?????????? ? kkpkpkpkpk xxxxxx ?????? ???????? 1211 ? ? 123122 xxLxxL pkpk ??? ???? +? 121 xxLk ?? 1211 xxLLK ??? ? 。 點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。 第 12 頁 共 27 頁 五．思維總結(jié) 集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學(xué)問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學(xué)問題。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如 ?、?、 ? 、 、 =、 SC A、∪，∩等等； 2．強化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用 Venn 圖解題方法的訓(xùn)練，加強兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“ Venn 圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）； 3．確定集 合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與 、 與 ? 、 a 與 {a}、φ與 {φ }、 {(1,2)}與 {1,2}； ② A? B 時， A 有兩種情況： A＝φ與 A≠φ 。 ③若集合 A 中有 n )( Nn? 個元素，則集合 A 的所有不同的子集個數(shù)為 n2 ，所有真子集的個數(shù)是 n2 － 1, 所有非空真子集的個數(shù)是 22?n 。 ④區(qū)分集合中元素的形式 ： 如 }12|{ 2 ???? xxyxA ； }12|{ 2 ???? xxyyB ； }12|),{( 2 ???? xxyyxC ； }12|{ 2 ???? xxxxD ； },12|),{( 2 ZyZxxxyyxE ?????? ； }12|)39。,{( 2 ???? xxyyxF ； },12|{ 2 xyzxxyzG ????? 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合 。 }0{ 、 ? 和 }{? 的區(qū)別； 0 與三者間的關(guān)系 。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 。 條件為 BA? ，在討論的時候不要遺忘了 ??A 的情況。 ⑥ 符號“ ??, ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關(guān)系 ；符號“ ,?216。 ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線 (面 )的關(guān)系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，第 13 頁 共 27 頁 是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。 《新課標》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第二講 函數(shù)概念與表示 一．課標要求 1．通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之 間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)； 3．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用； 4．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義； 5．學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。 二．命題走向 函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)的 重點，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 從近幾年來看，對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。 高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結(jié)合起來命題的可能性依然很大。 預(yù)測 20xx 年高考對本節(jié)的考察是： 1．題型是 1 個選擇和一個 填空； 2．熱點是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點。 三．要點精講 1． 函數(shù)的概念： 設(shè) A、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f： A→ B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)。記作： y=f(x)， x∈ A。其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)| x∈ A }叫做函數(shù)的值域。 注意：（ 1）“ y=f(x)”是函數(shù)符號，可 以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”； （ 2）函數(shù)符號“ y=f(x)”中的 f(x)表示與 x 對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是 f 乘 x。 2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 （ 1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： 第 14 頁 共 27 頁 ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量 x 的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對自變量 x 的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤 ； ③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認真考察自變量 x 的實際意義。 （ 2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 ①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。 3．兩個函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域 A、值域 C 和對應(yīng)法則 f。 當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定 。 因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。 4．區(qū)間 （ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （ 2）無窮區(qū)間； （ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示。 5．映射的概念 一般地，設(shè) A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則 f，使對于集合A 中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f：A? B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f： A? B”。 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。 注意：（ 1）這兩個集合有先后順序， A 到 B 的射與 B 到 A 的映射是截然不同的．其中 f 表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字敘述。 （ 2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。 6． 常用的函數(shù)表示法 （ 1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的 解析表達式，簡稱解析式 ； （ 2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系 ； （ 3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系 。 7．分段函數(shù) 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)； 8．復(fù)合函數(shù) 第 15 頁 共 27 頁 若 y=f(u)， u=g(x),x?(a， b)， u?(m,n)，那么 y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)， u 稱為中間變量，它的取值范圍是 g(x)的值域 。 四．典例解析 題型 1：函數(shù)概念 例 1．（ 1） 設(shè)函數(shù) ).89(,)100()]5([ )100(3)( fxxff xxxf 求??? ?? ??? （ 2）（ 20xx 上 海理， 1）設(shè)函數(shù) f（ x）＝??? ??????? ),1(,log ]1,(,281 xxx ，則滿足 f（ x） =41 的x 值為 。 解：（ 1）這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進行數(shù)值代換， )))101((())))104(((()))99((())94(()89( fffffffffffff ???? = )99())1 0 2(()97())1 0 0(()))1 0 3((())98(( fffffffffff ????? = .98)101())104(( ?? fff （ 2）當(dāng) x∈（－∞， 1] ，值域應(yīng)為［ 21 ，＋∞］， 當(dāng) x∈（ 1，＋∞）時值域應(yīng)為（ 0，＋∞）， ∴ y＝ 41 ， y∈（ 0，＋∞）， ∴此時 x∈（ 1，＋∞）， ∴ log81x＝41， x＝ 8141 ＝ 3。 點評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。 變式題：（ 20xx 山東 文 2）設(shè) 1232 , 2( ) ( ( 2 ) )l o g ( 1 ) 2 .xexf x f fxx???? ? ????＜ ， 則 的 值 為，（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解：選項為 C。 例 2．（ 20xx 安徽 文理 15） （ 1） 函數(shù) ??fx對于任意實數(shù) x 滿足條件 ? ? ? ?12fxfx??，若 ? ?1 5,f ?? 則第 16 頁 共 27 頁 ? ?? ?5ff ? __ ________； （ 2） 函數(shù) ??fx對于任意實數(shù) x 滿足條件 ? ? ? ?12fxfx??，若 ? ?1 5,f ?? 則? ?? ?5ff ? __________。 解：（ 1）由 ? ? ? ?12fxfx??得 ? ? ? ?14 ( )2f x f xfx? ? ??， 所以 (5) (1) 5ff? ? ?，則 ? ?? ? 115 ( 5 ) ( 1 )( 1 2 ) 5f f f f f? ? ? ? ? ? ???。 （ 2）由 ? ? ? ?12fxfx??得 ? ? ? ?14 ( )2f x f xfx? ? ??，所以 (5) (1) 5ff? ? ?，則 ? ?? ? 115 (