【文章內(nèi)容簡介】 方程與不等式”、“函數(shù)”是緊密相聯(lián)系的。“數(shù)與式”是“方程與不等式”及“函數(shù)”的基礎(chǔ)，一次式對應著一元一次方程、二元一次方程及一次函數(shù)，二次式對應著一元二次方程和二次函數(shù)，分式對應著分式方程和反比例函數(shù)。而“方程”與“函數(shù)”又是緊密相連，一元一次方程對應著一次函數(shù)，分式方程對應著反比例函數(shù)，一元二次方程對應著二次函數(shù)。認識到了這點，在實際教學特別是初三中考的復習就可以有的放矢了，在教學中應該抓住這三者的聯(lián)系進行，使學生對這部分知識有個系統(tǒng)性的認識。而要很好地實現(xiàn)這三者的聯(lián)系教學，我覺得可以以變式練習的形式進行，比如利潤問題的解決，當利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當利潤未知時，往往要建立二次函數(shù)來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進行變式練習。對學生的運算能力應該要十分重視。很多學生的運算能力較差，有些還依靠計算器，所以運算能力下降。而在實際教學中，有很多學生又會發(fā)出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運算能力的問題，所以我們要重視運算能力的提高。首先要讓學生對運算規(guī)則認識清楚，其次在實際教學中要加強學生的訓練，不要讓他們養(yǎng)成依賴思想。第五篇：初中數(shù)學《新課標》“數(shù)與代數(shù)”專題講座專題講座初中數(shù)學數(shù)與代數(shù)綦春霞（北京師范大學，教授）史炳星（北京教育學院，副教授，教研員）王瑞霖（北京師范大學教育學部，博士）數(shù)與代數(shù)在這一部分內(nèi)容主要涉及到 6 個話題，前三個是和內(nèi)容有關(guān)系的，第一個話題是數(shù)與式，第二個話題方程與不等式，第三個話題是函數(shù)；另外三個話題，是基于知識之上側(cè)重培養(yǎng)學生的一些方面的能力，一是運算能力，一是符號意識，再一個是模型思想。話題一 數(shù)與式一、重點關(guān)于數(shù)與式的主要內(nèi)容，包括有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式和二次根式，代數(shù)式主要是整式和分式。這一部分內(nèi)容的重點應當是強調(diào)理解數(shù)的意義，建立數(shù)感，理解代數(shù)式的表述功能，建立符號感，同時理解運算的意義，強調(diào)運算的必要性。二、內(nèi)容的變化（一）降低了對于實數(shù)運算的要求。比如“會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根與算術(shù)平方根，用立方運算求某些數(shù)的立方根”轉(zhuǎn)化為“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應的負整數(shù)）的立方根”。（二）取消了對“有效數(shù)字”的要求，但重視學生的估算能力，要求學生理解近似數(shù)。例如 “能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”, “了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值”。（三）與實驗稿比較，加強了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運算僅僅限于根號下是數(shù)的情況。（四）在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。例如要求“借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義?！保ㄎ澹┳⒅卮鷶?shù)式的實際應用和實際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示?！币约啊皶蟠鷶?shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算。”（六）對于代數(shù)式的意義，除了關(guān)注數(shù)學意義外，還關(guān)注現(xiàn)實的意義。（七）強調(diào)幾何直觀的作用。（八）知道｜a｜的含義（這里 a 表示有理數(shù)）。三、價值及作用數(shù)與式這部分內(nèi)容，在代數(shù)當中甚至在整個數(shù)學領(lǐng)域當中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點：第一點，通過數(shù)與式的學習，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受到數(shù)學的價值，能夠培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的興趣，增強學生的應用意識。關(guān)于數(shù)學和生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學生具有應用意識，可以舉如下的例子：在我們學習數(shù)軸的時候，學生通過觀察溫度計、天平的標尺以及常見的兩個相反方向行走的例子，能夠從這些現(xiàn)象當中得到數(shù)軸、抽象出數(shù)軸的這樣一個概念。接下來我們就可以利用數(shù)軸聯(lián)系數(shù)學內(nèi)部的一些知識，即應用于數(shù)學內(nèi)部。同時數(shù)軸作為一種工具，它又能很好地幫助學生理解其他生活中的問題，比如時區(qū)問題，化學中的一些常見的問題等等。這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計抽象出數(shù)軸來，同時數(shù)軸又幫助學生理解有理數(shù)及實數(shù)的概念。學習有理數(shù)之后數(shù)軸還不能被充滿，但是學了實數(shù)之后這個數(shù)軸就被充滿了。這樣直觀的一個工具，對于學生來理解實數(shù)是非常有幫助的。第二點，我們來談談關(guān)于數(shù)的概念和運算、代數(shù)式的建立、以及推導與探究性的活動，有利于學生形成數(shù)感、符號感的問題。學習數(shù)的概念和數(shù)的運算，除了學生會運算之外，數(shù)感和符號感也都是在這個過程當中逐漸發(fā)展起來的，而且通過學習數(shù)的概念和數(shù)的運算，不僅能夠提高學生的運算能力，同時也能夠發(fā)展學生的推理能力，對于提高學生的思維水平都是非常重要的載體。如：對于一般化的處理方法，因為字母表示數(shù)，實際上就是把數(shù)的概念和運算進行了一般化的處理，這樣就把學生的思維水平提高到抽象化的水平，同時也會逐漸通過式的建立以及對式的進一步學習，逐步形成模型的思想。我們在學習冪的運算這一部分內(nèi)容時，教師們通常是讓學生在原有的一些知識基礎(chǔ)之上，猜想觀察猜想出冪的運算規(guī)律，從數(shù)的計算開始，103 102 = 10 5 =10 3+2，a 4 a 3 =a 7 =a4+3，a m a n ＝ a m + n 逐步地提升到用字母來表示。再將這個公式應用于數(shù)學問題，這樣的話，學生經(jīng)歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個過程，體會了這樣一個數(shù)學思想。但這個過程我想其實充分體現(xiàn)了符號對數(shù)學學習的意義。我們觀察冪的運算公式，會發(fā)現(xiàn)冪之間所做的運算，如果冪之間做的是乘除運算，到了指數(shù)上它就會變?yōu)榧訙p運算，運算等級降了一級，冪做乘方的運算，在指數(shù)上就變?yōu)榱顺朔ǖ倪\算，其實也是降了一級。而學生無論通過觀察，還是在教師的適當引導下，他都能夠認識這樣的規(guī)律，產(chǎn)生這樣的意識，這正是學生積累了一定的符號感。符號感的獲得一方面基于對算理的理解，也是基于學生不斷的歸納和類比和各種方法的運用，就可以逐步獲得這樣一種意識。這個例子挺好，里面就體現(xiàn)了符號表示的一般化作用，因為在前面通過具體的數(shù)字產(chǎn)生了一種猜想，有可能這個同底的冪做乘法是指數(shù)相加，然后再根據(jù)指數(shù)冪的意義進行計算，就得到一個一般化結(jié)論，所以這個過程中除了有符號感，也有合情推理的成分。因此我們認為，這部分內(nèi)容不僅能夠發(fā)展學生的運算能力，而且也發(fā)展了學生的符號感還有推理能力。第三點價值，體現(xiàn)在數(shù)學里面，我們經(jīng)常看到一些對立統(tǒng)一思想。例如在一些概念、一些量中我們會發(fā)現(xiàn)，正數(shù)與負數(shù)，精確與近似，還有已知與未知之間的轉(zhuǎn)換等等這些概念中都蘊含著統(tǒng)一思想。這些內(nèi)容的學習確實有助于學生提高他們用唯物主義的思想和科學的觀點來認識客觀事件的能力。而且也體現(xiàn)模型思想，比如正數(shù)與負數(shù)，在生活中我們表示東與西就用正數(shù)與負數(shù)，所以正數(shù)負數(shù)它不單純就是我們所學的計算等等，最后它已經(jīng)成為表示具有相反意義的量的一個數(shù)學模型。話題二 方程與不等式一、重點方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內(nèi)容，一個就是關(guān)于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式組。方程和不等式這個話題里面，這部分內(nèi)容一個我們強調(diào)方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現(xiàn)實生活中去把問題進行抽象，用這種方程的形式和不等式的關(guān)系刻劃出來，然后進行講學，最后運用到現(xiàn)實問題。所以這一部分內(nèi)容就是一個重點，還是突出它的模型思想，當然另外一個部分，也是我們在這部分內(nèi)容所突出的一個重點，那就是如何解這個方程和不等式。二、內(nèi)容的變化在方程部分變化的內(nèi)容為：（一）與實驗稿相比，有些內(nèi)容適當增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但不要求應用這個關(guān)系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。（二）三元一次方程組作為選學內(nèi)容。（三）一些具體要求，如一元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個。（四）刪除了部分內(nèi)容，如由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法；由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組的解法。這是與大綱相比發(fā)生的變化。在不等式部分變化的內(nèi)容為：（一）強調(diào)結(jié)合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強調(diào)了過程目標“探索”，強調(diào)對于不等式組解的幾何意義的理解。（二）刪除了一元一次不等式組的應用。（三）解不等式中對相關(guān)的內(nèi)容作出了限定。如能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。三、價值及作用這里想突出方程與不等式的三個主要的作用，第一個是模型思想。這點非常重要。另外涉及到的一點就是化歸的思想方法，我們解方程組等等一系列過程都涉及到化歸。第三點，這部分內(nèi)容對后續(xù)學習是一個非常重要的內(nèi)容，因此我們說它在整個數(shù)與代數(shù)里面有著非常重要的作用和價值。首先，方程與不等式的學習，有助于學生形成建模思想。方程的模型思想主要是指根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程（組）；在列出方程后，再運用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進而解決問題，從而體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型，是貫穿方程與方程組的一條主線?！跋嗟取迸c“不等”是數(shù)學中兩種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對數(shù)量關(guān)系的完整認識，是進一步學習數(shù)學不可缺少的基礎(chǔ)知識和有效工具，也是分析和解決一些實際問題的重要方法。說到模型思想，我們在教學當中曾經(jīng)用到這樣一個案例：一位同學小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為 6km/h，跑步平均速度為 10km/h，又給出了從家到學校的距離為 2km，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學們討論之后，學生反應非常熱烈。這里我們拿出一個例子跟老師們分享：有的學生提出了這樣一個補充條件，說他走在路上，走著走著突然發(fā)現(xiàn)自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學校，跑到學校發(fā)現(xiàn)所用的時間和走到學校的時間是一樣，也就是說到校的時間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發(fā)現(xiàn)自己落了東西？ 學生在提出這樣一個問題之后，要想確定出這個問題的模型，首先就要考慮，小明走到學校到底要花多長時間？通過計算得出用 20 分鐘。接下來在這次上學的過程中，到底發(fā)生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當于從家又跑到了學校，這個過程當中學生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發(fā)現(xiàn)他跑的這一段路程實際上走路的路程多出來的就是家到學校的距離，即 2 公里。如果設(shè)未知數(shù)，我們就可以利用等量關(guān)系列出方程： 設(shè) t 分鐘之后返回，用 2 公里這個路程作為等量關(guān)系可以列出這樣的方程：，進而解決問題。當然學生還可以改變條件，或提出各種各樣的補充條件，在這樣一個問題的基礎(chǔ)上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關(guān)系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題，這個案例我想供老師們參考，希望能給大家一些啟發(fā)和思考。關(guān)于列方程解決實際運用問題，有很多老師反應比較難，找等量關(guān)系方面學生就比較有困難；找出等量關(guān)系了方程卻列不出來。像剛才的問題，有沒有什么好的建議？即怎么使學生能夠在分析實際問題的過程中抓住主要的關(guān)系，怎么能夠讀懂題目？怎么能夠提高他們分析問題和解決問題的能力？這確實是老師們比較頭疼的一個問題。學生在面對數(shù)學和生活聯(lián)系的時候，往往很難直接找到它們之間的聯(lián)系建立模型。實際上學生在生活當中，本身就應用著數(shù)學，經(jīng)常面對數(shù)學，而教師們在設(shè)計問題或者說設(shè)計教學的時候，有的時候會忽略學生和實際數(shù)學之間的聯(lián)系。如果說利用剛才這樣的案例，給學生一個比較開放性的平臺，即給出的條件是不充足的，你再補充其他條件，這樣，問題也許會比較簡單，也許會比較復雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補充，可能對水平存在差異的同學來說，確實是有很好的幫助。有經(jīng)驗的教師也會發(fā)現(xiàn)，在解決方程與不等式建立模型或者說