【文章內(nèi)容簡介】 續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i=1,2,n。（4）Xi~Exp(l),i=1,2, 略。注 這道例題的解法體現(xiàn)了求最小值分布的一般思路。三、連續(xù)場合的卷積公式，其密度函數(shù)分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z=X+Y的密度函數(shù)為pZ(z)=242。+165。165。pX(zy)pY(y) 略。本定理的結(jié)果就是連續(xù)場合下的卷積公式。（正態(tài)分布的可加性）設(shè)X~N(m1,s1),Y~N(m2,s2),且X與Y相互獨(dú)立。證明Z=X+Y~N(m1+m2,s1+s2).證明 略2222注 任意n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)變量的非零線性組合仍是正態(tài)變量。四、變量變換法變量變換法設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，函數(shù)237。236。u=g1(x,y),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一v=g(x,y).238。2236。x=x(u,v),的反函數(shù)237。，其變換的雅可比行列式y(tǒng)=y(u,v)238。182。x182。(x,y)182。uJ==182。(u,v)182。x182。v若237。182。y182。u182。y182。v230。1231。230。182。(u,v)246。231。=231。247。=231。232。182。(x,y)248。231。232。182。u182。x182。v182。x182。u182。y182。v182。y246。247。247。185。0.247。247。248。1236。U=g1(X,Y)則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為238。V=g2(X,Y),p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))，其證明可參閱數(shù)學(xué)分析教科書。，都服從正態(tài)分布N(m,s2)，記237。試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。U與V是否相互獨(dú)立？解 略。增補(bǔ)變量法增補(bǔ)變量法實(shí)質(zhì)上是變換法的一種應(yīng)用：為了求出二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)236。U=X+Y，238。V==g(X,Y)的密度函數(shù)，增補(bǔ)一個(gè)新的隨機(jī)變量V=h(X,Y)，一般令V=X或V=Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v)，再對p(u,v)關(guān)于v積分，從而得出關(guān)于U的邊際密度函數(shù)。（積的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為 pX(x)和pY(y).則U=XY的密度函數(shù)為pU(u)=242。證 略。+165。165。pX(uv)pY(v)（商的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則U=XY的密度函數(shù)為pU(u)=242。+165。165。pX(uv)pY(v)(X,Y)服從G={(x,y):x2+y2163。1}上的均勻分布，試求給定Y=y條件下X的條件密度函數(shù)p(x|y)。解 略。連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數(shù)形式pY(y)=242。+165。165。pX(x)p(y|x)dx,pX(x)=242。+165。165。pY(y)p(x|y)(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式p(x|y)=pX(x)p(y|x)242。+165。165。pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)=242。+165。165。pY(y)p(x|y) 由邊際分布和條件分布就可以得到聯(lián)合分布。二、條件數(shù)學(xué)期望 條件分布的數(shù)學(xué)期望（若存在）稱為條件數(shù)學(xué)期望，其定義如下：236。229。xiP(X=xi|Y=y),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；239。E(X|Y=y)=237。i+165。239。(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。242。165。xp(x|y)dx，238。236。229。yjP(Y=yj|X=x),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；239。jE(Y|X=x)=237。+165。239。(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。242。165。yp(y|x)dy，238。注(1)條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)。(2)條件數(shù)學(xué)期望E(X|Y)可以看成是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，其本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。（重期望公式）設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且E(X)存在，則E(X)=E(E(X|Y))。證明 略。注 重期望公式的具體使用如下（1）如果Y是一個(gè)離散隨機(jī)變量，E(X)=（2）如果Y是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，E(X)=229。E(X|y=y)P(Y=y)。jjj242。+165。165。E(X|Y=y)pY(y)（隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望）設(shè)X1,X2,Xn是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量N只取正整數(shù)值，且與{Xn}獨(dú)立。證明E(229。Xi)=E(X1)E(N).i=1N第四章 大數(shù)定律與中心極限定理一、教材說明本章內(nèi)容包括特征函數(shù)及其性質(zhì)，常用的幾個(gè)大數(shù)定律，隨機(jī)變量序列的兩種收斂性的定義及其有關(guān)性質(zhì)，中心極限定理。大數(shù)定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。教學(xué)目的與教學(xué)要求 本章的教學(xué)目的是：（1）使學(xué)生掌握特征函數(shù)的定義和常用分布的特征函數(shù)；（2）使學(xué)生深刻理解和掌握大數(shù)定律及與之相關(guān)的兩種收斂性概念，會(huì)熟練運(yùn)用幾個(gè)大數(shù)定律證明題目；（3）使學(xué)生理解并熟練掌握獨(dú)立同分布下的中心極限定理。本章的教學(xué)要求是：（1）理解并會(huì)求常用分布的特征函數(shù)；（2）深刻理解并掌握大數(shù)定律，能熟練應(yīng)用大數(shù)定律證明題目；（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會(huì)用其性質(zhì)證明相應(yīng)的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對之熟練應(yīng)用。重點(diǎn)與難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是大數(shù)定律與中心極限定理，難點(diǎn)是用特征函數(shù)的性質(zhì)證明題目，大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用。二、教學(xué)內(nèi)容本章共分特征函數(shù)、大數(shù)定律、隨機(jī)變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。一、特征函數(shù)的定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱j(t)=E(e)，∞ t + ∞，為X的特征函數(shù)。itXitX注 因?yàn)閑=1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的。itX（1）當(dāng)離散隨機(jī)變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數(shù)為φ(t)=229。ek=1+165。itxkPk，∞ t + ∞。（2）當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的特征函數(shù)為φ(t)=242。=165。165。eitxP(x)dx，∞ t + ∞。 常用分布的特征函數(shù)(1)單點(diǎn)分布：P(X= a)= 1，其特征函數(shù)為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1證明 略。（一致連續(xù)性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)在(∞，+ ∞)上一致連續(xù)。（非負(fù)定性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)是非負(fù)定的。（唯一性定理）隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定。 試?yán)锰卣骱瘮?shù)的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數(shù)學(xué)期望和方差。解 因?yàn)镚a(α，λ)的特征函數(shù)φ(t)= φ(t)= ‘‘a(chǎn)iaiai(1)a1；φ(0)= lll(1ita)l，’‘’1)i2it；φ(t)= a(a+(1)a2；φ(0)= 2a(a+1)l2ll，E(X)=j39。(0)i=aa。Var(X)=j39。39。(0)+(j39。(0))2=一、何謂大數(shù)定律（大數(shù)定律的一般提法）{Xn}為隨機(jī)變量序列，若對任意的e0,有236。1n252。1nlimP237。229。Xi229。E(Xi)e253。=1.()n174。+165。ni=1238。ni=1254。則稱{Xn}服從大數(shù)定律。二、切比雪夫大數(shù)定律（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個(gè)Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)163。c,i=1,2,則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的e0，式()成立。利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。推論（：伯努利大數(shù)定律）設(shè)mn為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率，則對任意的e0，有236。m252。limP237。npe253。=174。+165。238。n254。分析 mn服從二項(xiàng)分布，因此可以把mn表示成n個(gè)相互獨(dú)立同分布、都服從0–1分布的隨機(jī)變量的和。三、馬爾可夫大數(shù)定律（馬爾可夫大數(shù)定律）對隨機(jī)變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(229。Xi)174。0成立，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的e0，式()成立。n2i=1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。 設(shè){Xn}為一同分布、方差存在的隨機(jī)變量序列，且Xn僅與Xn1和Xn+1相關(guān)，而與其他的Xi不相關(guān)，試問該隨機(jī)變量序列{Xn}是否服從大數(shù)定律？解 可證對{Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數(shù)定律可得{Xn}服從大數(shù)定律。四、辛欽大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若Xn的數(shù)學(xué)期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的e0，式()成立。一、依概率收斂（依概率收斂）設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列，Y為一隨機(jī)變量。如果對于任意的e0，有n174。+165。limP{YnYe}={Xn}依概率收斂于Y，記做Yn190。190。174。Y。1n1nP注 隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律219。229。Xi229。E(Xi)190。190。174。0。ni=1ni= 設(shè){Xn}，{Yn}是兩個(gè)隨機(jī)變量序列，a，b是兩個(gè)常數(shù)。如果PP{Xn}190。190。174。a，{Yn}190。190。174。b，則有(1)Xn177。Yn190。190。174。a180。b。(3)Xn184。Yn190。190。174。a184。b(b185。0).174。a177。b。(2)Xn180。Yn190。190。二、按分布收斂、弱收斂 PPP 設(shè){Fn(x)}是隨機(jī)變量序列{Xn}的分布函數(shù)列，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)。若對F(x)的任一連續(xù)點(diǎn)x，都有l(wèi)imFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做n174。+165。wFn(X)190。190。174。F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn190。190。174。lX。P(1) Xn190。190。174。X222。Xn190。l190。174。X。P(2) 若c為常數(shù)，則Xn190。190。174。c219。Xn190。l190。174。c兩個(gè)定理的證明均略。三、判斷弱收斂的方法 分布函數(shù)序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數(shù)序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)φ(t)。這個(gè)定理的證明只涉及數(shù)學(xué)分析的一些結(jié)果，參閱教材后文獻(xiàn)[1]。 若Xl~P(l)，證明1233。Xl249。limP234。l163。x=l174。+165。2p235。l解 。此處略。242。x165。一、中心極限定理概述研究獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題。二、獨(dú)立同分布下的中心極限定理（林德貝格勒維中心極限定理）設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=m,Var(Xi)=s2Yn*=則對任意實(shí)數(shù)y，有X1+X2++*249。 limP233。Y163。y=F(y)=235。nn174。+165。2p242。y165。第三篇：概率統(tǒng)計(jì)教案5第五章 大數(shù)定律及中心極限定理167。 大數(shù)定律 , Y2 , L , Yn , L是一個(gè)，若對于任意正數(shù)e，有l(wèi)imP{Yae}=1，nn174。165。則稱序列Y1 , Y2 , L , Yn , L依概P 率收斂于a，記為Yn174。: 設(shè)隨機(jī)變量X1 , X2 , L , Xn , L相互獨(dú)立，且