線面平行的證明中的找線技巧(編輯修改稿)
2024-11-09 12:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 直，從而得到BC⊥平面PAC）．評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直222。線面垂直222。線線垂直．判定性質(zhì)判定性質(zhì)190。190。190。174。線面垂直172。190。190。190。190。190。174。面面垂直．這三者一般來(lái)說(shuō)，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)分析解決，其關(guān)系為：線線垂直172。190。190。190。190。之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問(wèn)題．下面舉例說(shuō)明．3如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．求證：AE^SB，AG^SD．證明：∵SA^平面ABCD，∴SA^BC．∵AB^BC，∴BC^平面SAB．又∵AE204。平面SAB，∴BC^AEAE^平面SBC．∴AE^SB．同理可證AG^SD．．∵SC^平面AEFG，∴SC^AE．∴評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化． 4 如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)CF，DF．∵AC∵=BC，∴CF^AB．AD=BD，∴DF^AB．又CFIDF=F，∴AB^平面CDF．∵CD204。平面CDF，∴CD^AB．又CD^BE，BEIAB=B，∴CD^平面ABE，CD^AH．∵AH^CD，AH^BE，CDIBE=E，∴ AH^平面BCD．評(píng)注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論．5如圖３，PBC． ∵PAAB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA^平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC∴PA^^BC．^平面ABC，BC204。平面ABC，BC．∴BC^平面APC．∵BC204。平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE204。平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系．，若AB⊥CD，BC⊥AD，求證：AC⊥BD即證線面垂直，而證線面垂直則需從D證明：過(guò)A作AO⊥平面BCD于OQAB^CD，\CD^BO 同理BC⊥DO∴O為△：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D于是BD^CO222。BD^ACAC證明：連結(jié)ACQBD^ACAC為A1C在平面AC上的射影\BD^A1C252。253。222。A1C^平面BC1D同理可證A1C^BC1254。，PA^平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN^ABCEN//.證：取PD中點(diǎn)E，則DC2C222。EN\AE///AM/MN9如圖在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過(guò)E作FG∥BC，且將ΔAFG沿FG折起，使∠A39。ED=60176。，求證:A39。E⊥平面A39。BC分析：A39。C弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。D解： G∵FG∥BC，AD⊥BC∴A39。E⊥FG EAB∴A39。E⊥BCF設(shè)A39。E=a，則ED=2a由余弦定理得：222A39。D=A39。E+ED2?A39。E?EDcos60176。=3a222∴ED=A39。D+A39。E∴A39。D⊥A39。E∴A39。E⊥平面A39。BC10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA^平面ABC, 208。ABC = 90176。, AN^SB于N, AM^SC于M。求證: ①AN^BC。②SC^平面ANM 分析:①要證AN^BC, 轉(zhuǎn)證, BC^平面SAB。②要證SC^平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面AN
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