【文章內(nèi)容簡介】 1,,x206。234。1, \得證.【啟迪】:本題看似復雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再 【例1】 設0a,b,c1,求證:(1a)b,(1b)c,(1c)a,:本題的結論為否定形式,適合用反證法來證明,假設命題不成立,從而導出矛:假設(1a)b,(1b)c,(1c)a三個數(shù)都大于, 則有(1a)b111,(1b)c,(1c)a 444 又Q0a1,0b1,0c1\111(1a)b,(1b)c,(1c)a.222 7江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）\(1a)b+(1b)c+(1c)a ?2a+b1a+bab163。(1a)b163。 又由基本不等式得，221b+c1c+a(1b)c163。,(1c)a163。, 把上面三個式子相加得(1a)b+(1b)c+(1c)a163。3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設不成立.\(1a)b,(1b)c,(1c)a,【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關鍵在于找出與命題相反的結論,a2b2c2++179。12.【例1】設a1,b1,c1,證明:b1c1a1 分析:本題只有一個已知條件,且結論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法向量法, 證:設=(a2b2c2v，),n=(b1,c1,a1)b1c1a1vvm 則n=a2b2c2b1+c1+a1 b1c1a1=a+b+c222abc =++a+b+c3cosqb1c1a1a2b2c2++a+b+c3163。b1c1a1a2b2c2a+b+c++179。 \ b1c1a1a+b+c33 =a+b+c3+a+b+c3 179。23江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）Qa1,b1,c++179。b1c1a1 \1125【例1】 已知a0,b0,且a+b=1,求證(a+)(b+)179。ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學生獨立完成,可得到如下解決:分析法1125(a+)(b+)179。 要證，ab4222 只要證4(ab)+4a+b25ab+4179。0，() 即證4(ab)233(ab)+8179。0，1ab163?；騛b179。0,b0,a+b=1,所以ab179。163。 又因為1=a+b179。2ab,:作差比較法Qa+b=1,a0,b0 \a+b179。2ab,\ab163。41125a2+1b2+125= \(a+)(b+)ab4ab44a2b2+33ab+8(14ab)(8ab)=179。0=4ab4ab1125 \(a+)(b+)179。.ab4解法三:三角代換法Qa+b=1,a0,b0江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）230。p246。 故設a=sina,b=cosa,a206。231。0,247。232。2248。1122)(cosa+)則原式=(sina+22sinacosasin4a+cos4a2sin2acos2a+2 =4sin22a(4sin2a)2+16 = 24sin2a22 Q sin2a163。1\4sin2a179。41=179。.\(4sin2a)+16179。25,24sin2a41125 \(a+)(b+)179。.ab422本題歸納與小結:本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉化為所學的知識,一般過渡的結論很,不同的是它把問題直接改變?yōu)橐坏肋\算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉化為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,它一般具有特殊的條件如a+b=1, a2+b2=1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是角的范圍,一般學生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角函數(shù)值的范圍,值的范圍,可采用,使中學生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,（論文）參考文獻[1][A],2002(1):54～55 [2][J],2009:55～57 [3][A],2014(1):220～221 [4],1995(3):31～33 [5],1999(4):101～103 [6][A],2013(7):7～8 [7],2013(2):88～90 [8][A],2012(2):64 [9][J],2012:72～73 [10][J],2012(8):28～30 [11][A],2012:60～61 [12][J],2012:81～82 [13][J],2012:13～15 [14][J],2012:92 [15][A],2012(4):108～109第三篇：高中數(shù)學知識點總結_不等式的性質(zhì)與證明要點重溫之不等式的性質(zhì)與證明1．在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的：當a0,b0時，ab219。anbn；2222當ab219。ab219。|a||b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數(shù)，但不等號的方向要改變，如：由01x或x1x2推得的應該是：（別漏了“013f(x)1f(x)+3[舉例]若f(x)=2x,則g(x)=為。的值域為；h(x)=1+的值域解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)0即可。以下用“取倒數(shù)”求：3f(x)13f(x)3或3f(x)13f(x)1b13,+165。)；f(x)+33222。01f(x)+343。baab[鞏固1] 若0，則下列不等式①a+bab；②|a||b。|③ab；④+2中，正確的不等式有A．1個B．2個C．3個D．4個（）[鞏固2] 下列命題：①若ab,則ac2bc2；②若ac2bc2,則ab；③若ab,cd則adbc； ④若ab,則ab；⑤若ab,則lg(a2+1)lg(b2+1),⑥若aabb； ⑦若a|b|；⑧若aab0,則acabcbbaab2；⑨若ab且1a1b,則a0,b；其中正確的命題是。[遷移]若abc且a+b+c=0，則：①aab，②bbc，③bccaba的取值范圍是：(12,1)，的取值范圍是：（2，12）。上述結論中正確的是。2．同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時要求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘。[舉例]已知函數(shù)f(x)=ax+c，且滿足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,則f(3)的取值范圍是：。解析：解決本題的一個經(jīng)典錯誤如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3② 由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④ 由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得： 113≤c≤－2⑥由⑤9+⑥得：163≤9a+c≤13⑦，即163≤f(3)≤13。錯誤的原因在于：當且僅當1=－a－c且2=4a+c時⑤式中的1=a成立，此時，a=1，c=－2； 當且僅當－4a－4c=8 且4a+c=3 時⑥式中的可見⑤⑥兩式不可能同時成立，所以⑦中的正解是待定系數(shù)得f(3)=∴7≤f(3)≤343163113=c成立，此時，a=53，c=113；=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤103；163≤f(2)≤8。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯解分析知：當a=1，53c=－2時，不等式c=113≤f(1)和163≤f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當a=34353，時，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這個解法是沒有問題的?？梢?，在求變量范圍時也并非絕對不能用“同向不等式相加”，只要“等號”能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時“接近”。注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標函數(shù)f(3)的最大、最小值。[鞏固]設正實數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則的最大值是： A．(a+b)cB．a(chǎn)+b+cax+byC．a(chǎn)+2bcD．(a+b)3．關注不等式||x||y||≤|x177。y|≤|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy≥0219。|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y|219。|xy|=|x||y|；xy≥0且|x|≤|y|219。|xy|=|y||x|； xy≤0219。|xy|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y|219。|x+y|=|x||y|；xy≤0且|x|≤|y|219。 |x+y|=|y||x|。[舉例1]若m0,則|xa|C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件。解析：|xa|m,∴|xa|解析：x0，不等式|2xlog2x|0222。 log2x0219。x1∴不等式的解集為（1，+165。)。[鞏固1]a,b都是非零實數(shù)，下列四個條件：①|(zhì)a+b|xx+1|=|x2|+|xx+1|的解集是。2aba+b4．若a、b∈R，則+a+b≥a+b2≥ab≥；