【文章內(nèi)容簡介】 4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。 sin α cos α 2 = 1， tan( α ? β ) = ? ，求 tan (β ? 2α )的值。 1 ? cos 2 α 3 sin α cos α cos α 1 （由已知得： = = 1， ∴ tan α = 2 2 sin α 2 sin α 2 2 又 tan (β ? α) = 3 如：已知 2 1 ? tan (β ? α) ? tan α 3 2 = 1） ∴ tan (β ? 2α ) = tan[ (β ? α) ? α ] = = 1 + tan(β ? α ) tan α 1 + 2 1 8 3 2 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三 角形？ 余弦定理： a 2 = b 2 + c 2 ? 2 bc cos A ? cos A = b 2 + c2 ? a2 2 bc （應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。） ?a = 2 R sin A a b c ? 正弦定理： = = = 2 R ? ? b = 2 R sin B sin A sin B sin C ?c = 2 R sin C ? S? = 1 ab sin C 2 ∵ A + B + C = π ， ∴ A + B = π ? C ∴ sin ( A + B) = sin C， sin 如 ?ABC 中， 2 sin 2 A+ B C = cos 2 2 A+B + cos 2 C = 1 2 （ 1）求角 C ； （ 2 ）若 a 2 = b 2 + c2 ，求 cos 2A ? cos 2 B 的值。 2 （（ 1）由已知式得： 1 ? cos (A + B) + 2 cos 2 C ? 1 = 1 又 A + B = π ? C ， ∴ 2 cos 2 C + cos C ? 1 = 0 1 或 cos C = ? 1（舍） 2 π 又 0 C π， ∴ C = 3 1 （ 2 ）由正弦定理及 a 2 = b 2 + c 2 得： 2 π 3 2 sin 2 A ? 2 sin 2 B = sin 2 C = sin 2 = 3 4 3 1 ? cos 2 A ? 1 + cos 2 B = 4 3 ∴ cos 2 A ? cos 2 B = ? ） 4 ∴ cos C = . . 33. 用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。 ? π π? 反正弦： arcsin x ∈ ? ? ， ? ， x ∈ [? 1， 1] 2? ? 2 反余弦： arccos x ∈ [0 ， π ]， x ∈ [ ?1， 1] 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 π? ? π 反正切： arctan x ∈ ? ? ， ? ， ( x ∈ R ) ? 2 2? 34. 不等式的性質(zhì)有哪些？ （ 1） a b ， c 0 ? ac bc c 0 ? ac bc （ 2 ） a b ， c d ? a + c b + d （ 3 ） a b 0 ， c d 0 ? ac bd （ 4 ） a b 0 ? 1 1 1 1 ，a b 0 ? a b a b n （ 5） a b 0 ? a n b n ， n a b （ 6 ） | x | a (a 0 ) ? ? a x a， | x| a ? x ? a 或 x a 如：若 1 1 0 ，則下列結(jié)論不正確的 是（ a b B. ab b 2 D. a b + 2 b a ） A. a 2 b 2 C. | a |+ | b| | a + b| 答案： C 35. 利用均值不等式： a + b ≥ 2 ab a， b ∈ R 2 . . 2 ( + ) a + b? ； a + b ≥ 2 ab ； ab ≤ ? ? ? 求最值時(shí)，你是否注 ? 2 ? 2 意到 “a， b ∈ R + ”且 “等號成立 ”時(shí)的條件，積 ( ab) 或和 ( a + b) 其中之一為定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下結(jié)論： a2 + b 2 a+b 2 ab ≥ ≥ ab ≥ a， b ∈ R + 2 2 a+b ( ) 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)等號 成立。 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( a， b ∈ R ) 當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時(shí)取等號。 a b 0 ， m 0 ， n 0 ，則 b b+m a+n a 1 a a+ m b+n b 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 如：若 x 0 ， 2 ? 3 x? 4 的最大值為 x 4? ? （設(shè) y = 2 ? ? 3 x + ? ≤ 2 ? 2 12 = 2 ? 4 3 ? x? 當(dāng)且僅當(dāng) 3x = 4 2 3 ，又 x 0 ， ∴ x = 時(shí)， y max = 2 ? 4 3 ） x 3 又如： x + 2 y = 1，則 2 x + 4 y 的最小值為 （ ∵ 2 x + 2 2 y ≥ 2 2 x +2 y = 2 2 1 ， ∴ 最小值為 2 2 ） 36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等） 并注意簡單放縮法的應(yīng)用。 如：證明 1 + （ 1 + 1 1 1 2 2 + 2 + … + 2 3 n2 1 1 1 1 1 1 + 2 + …… + 2 1 + + + …… + 2 2 3 n 1 2 2 3 (n ? 1)n = 1+1? =2? 1 1 1 1 1 + ? + …… + ? 2 2 3 n ?1 n 1 2） n f ( x) a ( a ≠ 0)的一般步驟是什么？ g( x ) 37. 解分式不等式 （移項(xiàng)通分，分子分母因式分解， x 的系數(shù)變?yōu)? 1，穿軸法解得結(jié)果。） . . 38. 用 “穿軸法 ”解高次不等式 ——“奇穿，偶切 ”，從最大根的右上方開始 如： ( x + 1)( x ? 1) ( x ? 2 ) 0 39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論 2 3 如：對數(shù)或指數(shù)的底分 a 1 或 0 a 1 討論 40. 對含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去解？ （找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。） 例如：解不等式 | x ? 3|? x + 1 1 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 1? ? （解集為 ? x| x ? ） 2? ? 41. 會用不等 式 | a|? | b| ≤| a 177。 b| ≤ | a|+ | b | 證明較簡單的不等問題 如：設(shè) f ( x ) = x 2 ? x + 13 ，實(shí)數(shù) a滿足 | x ? a| 1 求證： f ( x ) ? f ( a ) 2(| a|+ 1) 2 2 證明： | f ( x ) ? f ( a)| = |( x ? x + 13 ) ? ( a ? a + 13 )| = |( x ? a )( x + a ? 1)| (∵ | x ? a| 1) = | x ? a|| x + a ? 1| | x + a ? 1| ≤| x |+ | a|+ 1 又 | x |? | a| ≤ | x ? a| 1， ∴ | x | | a |+ 1 ∴ f ( x) ? f ( a ) 2| a|+ 2 = 2(| a|+ 1) （按不等號方向放縮） 42. 不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或 “△ ”問題） 如： a f ( x ) 恒成立 ? a f ( x ) 的最小值 a f ( x ) 恒成立 ? a f ( x ) 的最大值 a f ( x ) 能成立 ? a f ( x ) 的最小值 例如：對于一切實(shí)數(shù) x ，若 x ? 3 + x + 2 a恒成立，則 a的取值范圍是 （設(shè) u = x ? 3 + x + 2 ，它表示數(shù)軸上到兩定 點(diǎn) ? 2 和 3 距離之和 u m in = 3 ? (? 2 ) = 5 ， ∴ 5 a，即 a 5 或者： x ? 3 + x + 2 ≥ ( x ? 3) ? ( x + 2 ) = 5， ∴ a 5） 43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì) 定義： a n +1 ? a n = d ( d 為常數(shù) ) ， a n = a 1 + ( n ? 1)d 等差中項(xiàng)： x ， A， y 成等差數(shù)列 ? 2 A = x + y 前 n 項(xiàng)和 S n = . . (a 1 + a n ) n = na 2 1 + n( n ? 1) d 2 性質(zhì)： { a n } 是等差數(shù)列 復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 （ 1）若 m + n = p + q，則 a m + a n = a p + a q ； （ 2 ）數(shù)列 {a 2 n ?1 } ， {a 2 n } ， {ka n + b } 仍為等差數(shù)列； S n ， S 2 n ? S n ， S 3 n ? S 2 n …… 仍為等差數(shù)列； （ 3 ）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 ，可設(shè)為 a ? d ， a， a + d ； （ 4 ）若 a n ， b n 是等差數(shù)列 S n ， Tn 為前 n 項(xiàng)和，則 a m S 2 m ?1 = ； b m T 2 m ?1 （ 5） {a n } 為等差數(shù)列 ? S n = an 2 + bn（ a ， b 為常數(shù)，是關(guān)于 n的常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù)） S n 的最值可求二次函數(shù) S n = an 2 + bn 的最值；或者求出 {a n } 中的正、負(fù)分界 項(xiàng)，即： ?a ≥ 0 當(dāng) a 1 0 ， d 0，解不等式組 ? n 可得 S n 達(dá)到最大值時(shí)的 n. . 值。 ?a n+1 ≤ 0 ?a ≤ 0 當(dāng) a 1 0 ， d 0 ，由 ? n 可得 S n 達(dá)到最小值時(shí)的 n 值。 ? a n +1 ≥ 0 如：等差數(shù)列 {a n } ， S n = 18 ， a n + a n ?1 + a n ?2 = 3 ， S 3 = 1，則 n = （由 a n + a n ?1 + a n ? 2 = 3 ? 3a n ?1 = 3， ∴ a n ?1 = 1 又 S3 = ( a1 + a 3 ) 3 = 3a 2 2 = 1， ∴ a 2 = 1 3 ?1 ? ( a 1 + a n )n = ( a 2 + a n ?1 ) n = ? 3 + 1? n = 18 ? ? ∴ S n = 2 2 2 ∴ n = 27 ） 44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì) 定義： a n +1 = q （ q 為常數(shù)， q ≠ 0 ）， a n = a 1 q n ?1 an 等比中項(xiàng)： x 、 G、 y 成等比數(shù)列 ? G 2 = xy ，或 G = 177。 xy 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 ? na 1 ( q = 1) ? 前 n 項(xiàng)和： S n = ? a 1 (1 ? q n ) （要注意 ! ） ( q ≠ 1) ? ? 1? q 性質(zhì)： { a n } 是等比數(shù)列 （ 1）若 m + n = p + q ，則 a m a n = a p a q （ 2 ） S n ， S 2 n ? S n ， S 3 n ? S 2 n …… 仍為等比數(shù)列 45. 由 S n 求a n 時(shí)應(yīng)注意什么？ （ n = 1 時(shí)， a 1 = S 1 ， n ≥ 2 時(shí)， a n = S n ? S n ?1 ） 46. 你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？ 例如：（ 1）求差（商）法 1 1 如： {a n } 滿足 a 1 + 2 a 2 + …… + 2