高中數(shù)學(xué)412圓的一般方程教案新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-13 20:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形 式 ,再利用條件 D2+E24F 與 0的大小判斷 ,不能直接套用 .另外 ,直接配方也可以判斷 . 變式訓(xùn)練 求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)： (1)x2+y28x+6y=0。(2)x2+y2+2by=0. 解 :(1)把 x2+y28x+6y=0配方 ,得 (x－ 4)2＋ (y+3)2=52,所以圓心坐標(biāo)為 (4,3),半徑為 5； (2)x2+y2+2by=0配方 ,得 x2＋ (y+b)2=b2,所以圓心坐標(biāo)為 (0,b),半徑為 |b|. 例 2 求過(guò)三點(diǎn) O(0,0)、 M1(1,1)、 M2(4,2)的圓的方程 ,并求圓的半 徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo) . 解 :方法一：設(shè)所求圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、 M M2在圓上 ,則有 ??????????????.02024,02.0FEDFEDF 解得 D=8,E=6,F=0, 故所求圓的方程為 x2+y28x+6y=0,即 (x－ 4)2＋ (y+3)2= (4,3),半徑為 5. 方法二：先求出 OM1的中點(diǎn) E(21 ,21 ),M1M2的中點(diǎn) F(25 ,23 ), 再 寫(xiě) 出 OM1 的 垂 直 平 分 線 PE 的 直 線 方 程 y21=(x21), ① AB 的 垂 直 平 分 線 PF 的 直 線 方 程 y23=3(x25), ② 聯(lián)立 ①② 得??? ?? ?? ,93 ,1yx yx得??? ??? .3,4yx則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (4,3),即為圓心 .OP=5為半徑 . 方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為 P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得 |OP|=|AP|=|BP|, 即 x2+y2=(x1)2+(y1)2=(x4)2+(y2)2,解之得 P(4,3),OP=5為半徑 . 方法四：設(shè)所求圓的方程為 (x－ a)2＋ (y－ b)2=r2,因?yàn)?O(0,0)、 A(1,1)、 B(4,2)在圓上 ,所以它們的坐標(biāo)是方程的解 .把它們的坐標(biāo)代入上面的方程 ,可 以得到關(guān)于 a、 b、 r的方程組 ,即 ???????????????.)2()4(,)1()1(222222222rbarbarba 解此方程組得?????????.5,3,4rba 所以所求圓的方程為 (x－ 4)2＋ (y+3)2=52,圓心坐標(biāo)為 (4,3),半徑為 5. 點(diǎn)評(píng)： 請(qǐng)同學(xué)們比較 ,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,何時(shí)設(shè)圓的一般方程 .一般說(shuō)來(lái) ,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題 ,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無(wú)直接關(guān)系 ,往往設(shè)圓的一般方程 . 例 3 已知點(diǎn) P(10,0),Q 為圓 x2+y2=16上一動(dòng)點(diǎn) .當(dāng) Q 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,求 PQ的中點(diǎn) M 的軌跡方程 . 活動(dòng) :學(xué)生回想求曲線方程的方法 與步驟 ,思考討論 ,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示 ,本題可利用平面幾何的知識(shí) ,見(jiàn)中點(diǎn)作中線 ,利用中線定長(zhǎng)可得方程 ,再就是利用求曲線方程的辦法來(lái)求 . 圖 1 解法一 :如圖 1,作 MN∥OQ 交 x軸于 N, 則 N為 OP的中點(diǎn) ,即 N(5,0). 因?yàn)?|MN|=21 |OQ|=2(定長(zhǎng) ). 所以所求點(diǎn) M的軌跡方程為 (x5)2+y2=4. 點(diǎn)評(píng) :用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件 ,然后再將條件代數(shù)化 .但在許多問(wèn)題中 ,動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜 ,將它翻譯成代數(shù)語(yǔ)言時(shí)也有 困難 ,這就需要我們探討求軌跡問(wèn)題的新方法 .轉(zhuǎn) 移法就 是一種很重要的方法 .用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時(shí) ,首先分析軌跡上的動(dòng)點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)情況 ,探求它是由什么
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