【文章內容簡介】 成偶數(shù)項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。2平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤22sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據(jù)不等式的性質：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。60的為“及格”； 第四篇：不等式的一些證明方法數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學中非常重要的內容,不等式的證明是學習中的重點和難點,本文除總結不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關的證明方法在具體實例中的應用.[關鍵詞] 不等式。證明。方法； 應用不等式在數(shù)學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。此方法靈活性大,需反復練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)（4）數(shù)學歸納法：凡與自然數(shù)n有關的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。0\當x206。R時，即 1+2x4179。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學歸納法不易證明,++188。+(1+1)+(1+）+188。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。b時，（a+）(b+)≥.故可設a=+xab2411b=