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正文內(nèi)容

g31039不等式證明方法(二)(編輯修改稿)

2024-10-28 21:45 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據(jù)觀察求證式等價于 |ac|<c2ab也不適用基本不等式法,用分析法較合適。要證cc2ab<a<c+c2ab只需證c2ab<ac<c2ab證明:即證 |ac|<c2ab即證(ac)2<c2ab即證 a22ac<ab∵a>0,∴即要證 a2c<b 即需證2+b<2c,即為已知∴ 不等式成立練習4:已知a∈R且a≠1,求證:3(1+a2+a4)>(1+a+a2)25放縮法放縮法是在證明不等式時,把不等式的一邊適當放大或縮小,利用不等式的傳遞性來證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強常用技巧有:(1)舍去一些正項(或負項),(2)在和或積中換大(或換?。┠承╉?,(3)擴大(或縮小)分式的分子(或分母)等。例6:已知a、b、c、d都是正數(shù)求證: 1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2分析:觀察式子特點,若將4個分式商為同分母,問題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)可得:ba+b+c<b+da+b+c+dcb+c+d<c+aa+b+c+ddc+d+a<d+bc+d+a+dad+a+b<a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知:1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2練習5:已知:a<2,求證:loga(a+1)<16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易,化繁為簡的作用,有些問題直接證明較為困難,若通過換元的思想與方法去解就很方便,常用于條件不等式的證明,常見的是三角換元。(1)三角換元:是一種常用的換元方法,在解代數(shù)問題時,使用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行換元,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題,充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。1x,求證0<A<1證明: ∵x,y∈R+,且xy=1,x=secθ,y=tanθ,(0<θ<xy)∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ1sec2θ=1cos2θcosθs2m2θ+cos2θcosθs2mθcos2θ=sinθ∵0<θ<x2,∴ 0<s2mθ <1因此0<A<1復(fù)習6:已知1≤x2+y2≤2,求證:12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元:對于在已知條件中含有若干個等比式的問題,往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值,然后代入求證式,即可。例8:已知 x1=y+12=z23,求證:x2+y2+z2≥4314證明:設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1,y=zk1,z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚,可以考慮反證法,即先否定結(jié)論不成立,然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理,逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論,從而肯定原有結(jié)論是正確的,凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題,適宜用反證法。例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2分析:本題已知為p、q的三次,而結(jié)論中只有一次,應(yīng)考慮到用術(shù)立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。證明:解設(shè)p+q>2,那么p>2q∴p3>(2q)3=812q+6q2q3將p3+q3 =2,代入得 6q212q+6<0即6(q1)2<0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>:a>0,b>0,c>08數(shù)學歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,通??紤]用數(shù)學歸納法來證明。用數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。例10:設(shè)n∈N,且n>1,求證:(1+13)(1+15)…(1+12n1)>2n+12分析:觀察求證式與n有關(guān),可采用數(shù)學歸納法證明:(1)當n=2時,左= 43,右=52∵43>52∴不等式成立(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈n)時不等式成立,即(1+13)(1+15)…(1+12k1)>2k+12 那么當n=k+1時,(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)>2k+12(1+12k+1)①要證①式左邊>2k+32,只要證2k+122k+22k+1>2k+32②對于②〈二〉2k+2>2k+12k+3〈二〉(2k+2)2>(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4>4k2+8k+3〈二〉4>3③∵③成立 ∴②成立,即當n=k+1時,原不等式成立由(1)(2)證明可知,對一切n≥2(n∈N),原不等式成立練習8:已知n∈N,且n>1,求證: 1n+1+1n+2+…+12n>13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證,通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等,達到證明的目的,這種方法則叫構(gòu)造法。1構(gòu)造函數(shù)法例11:證明不等式:x12x <x2(x≠0)證明:設(shè)f(x)=x12xx2(x≠0)∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x[1(12x)]+x2=x12xx+x2=f(x)∴f(x)的圖像表示y軸對稱∵當x>0時,12x<0,故f(x)<0∴當x<0時,據(jù)圖像的對稱性知f(x)<0∴當x≠0時,恒有f(x)<0 即x12x<x2(x≠0)練習9:已知a>b,2b>a+c,求證:bb2ab<a<b
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