【文章內(nèi)容簡介】 () 頻率變換公式為： ?? ?cossin cos 0??? () 其中 ? ?? ?? ?? ?2c os 2c osc os 0 ?? ???lhlh ??? () 式中 ?l 為下截止頻率， ?h 為上截止頻率。 從而可得數(shù)字帶阻濾波 器的傳遞函數(shù)表達式為： 寧夏大學新華學院本科學位論文 8 ? ? ? ?| 201 2c os21 1 ZZ ZSa sHZH ?? ? ?? ??? ? () 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器 設模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字帶通濾波器的 Z 平面的變換公式為： Z ZZS ? ??? ? ??1 c os21 2 201 ? () 頻率變換公式為： ? ??sin c osc os 0 ??? () 其中 ? ?? ?? ?? ?2c os 2c osc os 0 ?? ???lhlh ??? () 式中 ?l為下截止頻率， ?h為上截止頻率。 從而可得數(shù)字帶通濾波器的傳遞函數(shù)表達式為： ? ? ? ?| 1 c os21 2 201 Z ZZSa sHZH ? ??? ? ??? ? () FIR 數(shù)字濾波器設計方法 穩(wěn)定和線性相位特性是 FIR 濾波器 突出的特點。設 FIR 濾波器單位脈沖響應 ??nh 長度為 N，其系統(tǒng)函數(shù) ??zH 為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn nznhzH () ??zH 是 z1? 的 (N1)次多項式，它在 z 平面上有 (N1)個零點，原點 0?z 是 (N1)階重極點。因此， ??zH 永遠穩(wěn)定。 FIR 濾波器的設計方法與 IIR 數(shù)字濾波器的設計方法有很大的不同。 FIR 濾波器的設計任務是選擇有限長度的 ??nh ，使傳遞函數(shù) ? ?eH j? 滿足技術(shù)要求。 線性相位條件 對于長度為 N的 ??nh ,傳遞函數(shù)為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn njj enheH ?? () ? ? ? ? ? ?eHeH jij ??? ?? () 式中， ()H? 稱為幅度特性， ???? 稱為相位特性。 ? ?eHj? 的線性相位是指 ???? 是 ? 的線性函數(shù)，即 ? ? ???? ?? ， ? 為常數(shù) () 寧夏大學新華學院本科學位論文 9 如果 ???? 滿足下式： ? ? ????? ?? 0 ， ?0 是起始相位 () 以上兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，即 ? ? ???? ??dd 滿足 ()為第一類線性相位；滿足 ()為第二類線性相位。第一類線性相位特性是 ??nh 是實序列且對 ? ? 2/1?N 偶對稱，即 ? ? ? ?1??? nNhnh 。第二類線性相位特性是 ??nh是實序列且對 ? ? 2/1?N 奇對稱，即 ? ? ? ?1???? nNhnh 。具有線性相位的 FIR 數(shù)字濾波器既有恒定的延遲群，又有恒定的相延遲。 線性相位 FIR 濾波器幅度特性的特點 ??nh 的長度 N 取奇數(shù)還是偶數(shù)影響 ()H? 的特性。所以 ，這兩類線性相位，有四種情況討論其幅度特性特點。 (1) ??nh 為偶對稱，且 N為奇數(shù) (Ⅰ型濾波器 ) 當 ??nh 為偶對稱，且 N為奇數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： ( 1 ) / 20( ) ( ) c o s ( )NnH a n n????? ? （ ） 其中 1(0) ( )2Nah?? ， 1( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22NNa n h n n ?? ? ? …。此時， ()H? 對 0, ,2? ? ?? 呈偶對稱。 (2) ??nh 為偶對稱，且 N為偶數(shù) (Ⅱ型濾波器 ) 當 ??nh 為偶對稱，且 N為偶數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： /211( ) ( ) c o s ( ( ) )2NnH b n n?????? （ ） 其中 N( ) 2 ( ) , 1 , 2 ,22Nb n h n n? ? ? … 。此時 ()H? 對 ??? 呈奇對稱。但是 ( ) 0H? ? ，故高通濾波器不能用這種方法實現(xiàn)。 (3) ??nh 為奇對稱，且 N為奇數(shù) (Ⅲ型濾波器 ) 當 h(n)為奇對稱，且為奇數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： ( 1 ) / 21( ) ( ) s in ( )NnH c n n????? ? （ ） 其中 N 1( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22Nc n h n n? ? ? …。此時 ()H? 對 02? ? ?? ， ， 呈奇對稱。但是當02? ? ?? ， ， 時， ( ) 0H?? ，所以低通、高通濾波器不能采用這種形式。 (4) ??nh 為奇對稱，且 N為偶數(shù) (Ⅳ型濾波器 ) 寧夏大學新華學院本科學位論文 10 當 ??nh 為奇對稱，且 N為偶數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可表示為： /211( ) ( ) s in ( ( ) )2NnH d n n?????? （ ） 其中 N( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22Nd n h n n? ? ? …。此時 ()H? 對 02??? ， 呈奇對稱，對 ??? 呈偶對稱。但是當 0,2??? 時， ( ) 0H?? ，所以低通濾波器不能采用這種形式。 線性相位 FIR 濾波器零點分布特點 第一類和第二類線性相 位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來表示為： ? ? ? ? ? ?zHzzH N 11 ????? () 上式表明，如 zzi?是 ??zH 的零點，其倒數(shù) zi1? 也必然是其零點；又因為 ??nh 是實序列， ??zH的零點必定共軛成對，因此 zi* 和 ??zi1*? 也是其零點。這樣，線性相位 FIR 濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。 常用窗函數(shù)介紹 矩形窗 (Rectangular window) 定義為 : ? ? ? ?nRn NR ?? () 頻率響應為： 1()2sin( )2()sin( )2NjjRNW e e ??????? () ? ?ejR ?? 主瓣寬度為 N/4? ，第一副瓣比主瓣低 13dB。 實現(xiàn)函數(shù)為 rectwin，調(diào)用格式為： w=rectwin(N) N是窗函數(shù)的長度，返回值 w是一個 N階的向量，它由窗函數(shù)的值組成。 三角形窗 (Triangular window) 定義為： ? ? ? ????????????????121,1221210,12NnN nNnN nnR? () 其頻率響應為： 21()2( 1 )sin ( )2 4()1 sin ( )2NjjRNW e e N???????????? ????? () 寧夏大學新華學院本科學位論文 11 其主瓣寬度為 N/8? ，第一副瓣比主瓣低 26dB。 實現(xiàn)函數(shù)為 triang，其調(diào)用格式為： w=triang(N) 漢寧窗 (Hanning window) 漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，其時域表達式為： ? ? ? ? ? ?nRNnn NR 12c o ??? ?? () 其頻率響應為： ? ? eWeW NjRjR ?? 2 1??? () 其最大旁瓣值比主瓣值低 31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，為 N/8? 。 實現(xiàn)函數(shù)為 hann，其調(diào)用格式為： w=hann(N) 海明窗 (Hamming window) 海明窗函數(shù)是一種改進的升余弦函數(shù)，其時域表達式為： ? ? ? ? ? ?nRNnn NR 12c o ??? ?? () 其幅度頻率特性為： ? ? ? ? ?????? ?????? ????????? ???? NWNWWW RRRHm ?????? () 其主瓣寬度為 N/8? ，能量更集中在主瓣之中，主瓣的能量約占 %，第一旁瓣的峰值比主瓣小 40dB。 實現(xiàn)函數(shù)為 hamming，其調(diào)用格式為： w=hamming(N) 布拉克曼窗 (Blackman window) 定義為： 11( ) 0 . 4 2 0 . 5 c o s ( 2 ) 0 . 0 8 c o s ( 4 )kkwk NN????? ? ? () 其中 1,2,k? … ,N 。其幅度頻率特性為： 2 2 4 4( ) 0 . 4 2 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ] 0 . 0 4 [ ( ) ( ) ]1 1 1 1R R R R RW W W W W WN N N N? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） ()RW? 為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。布拉克曼的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的三倍，為 N/12? 。它的最大旁瓣值比主瓣值低 57dB。 實現(xiàn)函數(shù)為 blackman，其調(diào)用格式為： w=blackman(N) 寧夏大學新華學院本科學位論文 12 各種窗函數(shù)的實現(xiàn)與比較 在設計 FIR 數(shù)字濾波器時，要選擇合適的窗函數(shù)來進行處理，調(diào)整窗函數(shù)形狀可使帶內(nèi)波動減少以及加大阻帶衰減；調(diào)整窗口長度 N可以有效地控制過渡帶寬度。在設計時應當根據(jù)實際需要和技術(shù)要求來選取窗函數(shù)進行設計。如果找到的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量， 則相應的旁瓣幅度就能減小，而旁瓣的減小可使通帶阻帶波動減小，加大阻帶衰減，但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。 本章小結(jié) 這一章， IIR 濾波器的設計步驟分為三步，即模擬低通濾波器設計，模擬 數(shù)字濾波器變換，濾波器的頻帶變換。 模擬低通濾波器的設計中，主要研究三種設計方法：在模擬 數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，為脈沖響應不變法和雙線性 Z變換法；在頻帶變換的實現(xiàn)中，以巴特沃斯濾波器為例進行分析設計。 FIR 濾波器的設計包括三部分：線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的條件和特點，常用窗函數(shù)及其 Matlab 仿真 ， 基于窗函數(shù)的 FIR 數(shù)字 濾波器 設計及其 Matlab 仿真 。 在設計任意幅度頻率特性濾波器的同時，保證精確、嚴格的線性相位特性。 FIR 數(shù)字濾波器的單位沖激響應是有限長的，可以用一個因果系統(tǒng)來實現(xiàn)，因而 FIR 數(shù)字濾波器可以做成即是因果又是穩(wěn)定的系統(tǒng)。在常用窗函數(shù)及 Matlab 仿真中，討論了五種窗函數(shù)及其各自特性和相互比較，并結(jié)合 Matlab 進行仿真；在基于窗函數(shù)的 FIR 數(shù)字濾波器設計中，根據(jù)設計的不同技術(shù)要求，選擇了不同的窗函數(shù)，并利用 Matlab 提供的相關(guān)函數(shù)來設計實現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器。正確地選擇窗函數(shù)可以提高所 設計的數(shù)字濾波器的性能，減小 FIR 數(shù)字濾波器的階次。同時它也是數(shù)字濾波器設計中最簡單的方法。 寧夏大學新華學院本科學位論文 13 第 3 章 基于 Matlab 的 IIR 數(shù)字濾波器設計與仿真分析 基于 Matlab 的模擬濾波器設計與仿真分析 巴特沃斯低通濾波器設計與仿真分析 Matlab 信號處理工具箱 函數(shù) buttap 是 巴特沃斯 低通模擬 濾波器的設計函數(shù)。其調(diào)用的格式為： [z,p,k]=buttap(N)，其中， z 表示零點 ,p 表示極點 ,k 表示增益， N 表示階次。 取 N階巴特沃斯濾波器（ N=1,4,10,22），進 行比較分析 n=0::3。