【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△M′OK′，點(diǎn)F為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△M39。FK′為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．第20頁(yè)（共107頁(yè)）2018年07月10日139****3005的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）A． B．2 C．4 D．3【解答】解：點(diǎn)C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設(shè)C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負(fù)值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故選：B．二．解答題（共39小題）2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使第21頁(yè)（共107頁(yè)），得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對(duì)稱，此時(shí)存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）； 當(dāng)t≠2時(shí)，不存在，理由如下：若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=12﹣0=2． 又∵t≠2，第22頁(yè)（共107頁(yè)）∴不存在．（3）①在圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F． 設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3． ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為．．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴線段BC==3，∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．第23頁(yè)（共107頁(yè)）3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長(zhǎng)度；（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24頁(yè)（共107頁(yè)）∴OC2=OA?OB=3，則OC=；（2）∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，又OC=，點(diǎn)C在x軸下方，），∴C（，﹣設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在拋物線上，代入拋物線解析式，）代入得：，又∵點(diǎn)C（，﹣解得：a=，∴拋物線解析式為y=（3）點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，則Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣x+2；x2﹣x+2），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣當(dāng)x=﹣（，﹣x2+x﹣，=時(shí)，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為）．第25頁(yè)（共107頁(yè)）4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過(guò)點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣10），∵當(dāng)t=2時(shí)，AD=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x；（2）由拋物線的對(duì)稱性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26頁(yè)（共107頁(yè)）當(dāng)x=t時(shí)，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為，；（3）如圖，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2），當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，4），此時(shí)GH不能將矩形面積平分；當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，0），此時(shí)GH也不能將矩形面積平分；∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形的面積平分，當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線段AB、DC上時(shí)，直線GH過(guò)點(diǎn)P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，在△OBD中，PQ是中位線，第27頁(yè)（共107頁(yè)）∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過(guò)圖象平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過(guò)程；（2）若直線l經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l于M．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2﹣1的頂點(diǎn)為（﹣2，﹣1）∴拋物線y=（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右2個(gè)單位得到拋物線y=x2的圖象．（2）①存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立． 如圖一，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B第28頁(yè)（共107頁(yè)）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值為QP+PM的最小值當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，QP+PM有最小值，最小值為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)加M縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．∴QP+PF的最小值為6．6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；（3）過(guò)N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．個(gè)單位的速度勻第29頁(yè)（共107頁(yè)）【解答】解：（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）． 將A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45176。，∴△AMN為等腰直角三角形（如圖1）． 當(dāng)∠ANM=90176。時(shí)，有AM=解得：t=1；當(dāng)∠AMN=90176。時(shí)，有t﹣3=﹣t，解得：t=．綜上所述：當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，△AMN為直角三角形．（3）設(shè)NH與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t﹣3，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵M(jìn)H∥AB，∴∠EMH=45176。，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=當(dāng)t=AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)M的右邊，點(diǎn)H在x軸下方，第30頁(yè)（共107頁(yè)）∴此時(shí)MH⊥AB，∴t=1．∴存在點(diǎn)H使MH∥AB，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．7．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)（1）求拋物線解析式；（2）連接OA，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31頁(yè)（共107頁(yè)）∴拋物線解析式為y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；（2）延長(zhǎng)CA交y軸于D，如圖1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45176。，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =25﹣21 =4；（3）存在．如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設(shè)M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△OAC，即=，（舍去），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣54）；=4，OA=，得或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△CAO，即=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=第32頁(yè)（共107頁(yè)）解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵M(jìn)N⊥OM，∴∠OMN=90176。，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣54）或（，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；）或（，﹣）時(shí)，以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似．8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求b值；（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；（4）在（3）的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），第33頁(yè)（共107頁(yè)）∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+1．（2）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2），∴2=k0+b，∴b=2．（3）證明：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，如圖1所示． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+1），則MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．（4）相切，理由如下：過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于D，取MN的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，交PF于點(diǎn)Q，如圖2所示． 由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四個(gè)角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN為直徑的圓與x軸相切．第34頁(yè)（共107頁(yè)），9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說(shuō)明理由；（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3，第35頁(yè)（共107頁(yè)）∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4． 當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x+4=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）． 將B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+4），如圖所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+