【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 u u u? ? ? ? ? ? ? ?, ()P u U??1 ()u? , ( ) ( ) ( )P a U b b a? ? ? ? ? ?， ( ) 2 ( ) 1P U c c? ? ? ? （ c≥ 0） 例 2：設(shè) ~ (0,1)UN ，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求下列事件的概率： （ 1） ( )PU? , （ 2） ( )PU?? , （ 3） ( 2)PU? , （ 4） (1 )PU?? 解： (1) ( )PU? ()?? = （ 2） ( )PU?? =1 ()? == (3) ( 2)PU? =2 (2)? 1=2 = (4) (1 )PU?? = ()? (1)? == 隨機(jī)變量 2X ~ N ??（ ， ）的概率計(jì)算問(wèn)題 如果 2X ~ N ??（ ， ），那么 X 落在區(qū)間 12( , )xx 上的概率，應(yīng)該是對(duì)它的密度函數(shù)在區(qū)間 12( , )xx 上進(jìn)行積分所得，即： 12()P x X x??=2221()212txx e dt??????? 這個(gè)積分是可以求出來(lái)的，但可能會(huì)比較麻煩，而且當(dāng)位置參數(shù) 181。 和尺度參數(shù)σ改變時(shí)，積分值也會(huì)不同。我們不可能對(duì)每一組 181。和σ都制造出 正態(tài)分布表，更何況181。 和σ的組合是無(wú)限的，所以沒辦法去制造出無(wú)數(shù)種正態(tài)分布表。但我們可以設(shè)法將一般的正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X化成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后再利用已有的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，來(lái)解決一般的正態(tài)分布的概率問(wèn)題。 隨機(jī)變量 2X ~ N ??（ ， ）， X 的分布函數(shù)為： ( ) ( )F x P X x? ? ? 22()212 tx e dt???? ????? 可以令 ty ????，則上式可化為： ( ) ( )F x P X x?? = 2212x ye dy????? ???? = ()x ???? 13 12()P x X x??=2221()212txx e dt??????? = 222 ()212tx e dt?????????221 ()212 tx e dt???? ????? ? 令 ty ????，則 上式 = 22 212x ye dy????? ????2121 2 x ye dy???? ? ???? ? = 2()x ???? 1()x ????? 1()P X x? =1 1()P X x??=1 1()x ????? 如果隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么相應(yīng)事件的概率很容易就可以求出來(lái)。但在實(shí)際問(wèn)題中，不是所有的隨機(jī)變量都服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那對(duì)于一般的正態(tài)分布，該如何求出與相應(yīng)變量的事件的概率。下面給出一個(gè)定理： 如果隨機(jī)變量 2X ~ N ??（ ， ），那么 ~ (0 ,1)XUN????。 任何一個(gè)正態(tài)分布都可以通過(guò)以上的線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)正太分布。 例 3：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 2(85,2 )N ，求事件 (85 95)PX??的概率。 解： 9 5 8 9 8 5 8 9( 8 5 9 5 ) ( ) ( )22PX ??? ? ? ? ? ? (3) ( 2)? ? ?? ? (3) 1 ( 2 )? ? ? ? ? =? 1+ = 例 4：設(shè)隨機(jī)變量 2X ~ N ??（ ， ），求 ()P X k????。 解： ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1P X k k k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) k =1 時(shí)， ( ) 0. 68 26P X k??? ? ? 當(dāng) k =2 時(shí)， ( ) 0. 95 45P X k??? ? ? 當(dāng) k =3 時(shí)， ( ) 0. 99 73P X k??? ? ? 由上可知，當(dāng) k =3 時(shí)， X 落在區(qū)間 ( 3 , 3 )? ? ? ???上的概率為 ，由于觀測(cè)值落在 ( 3 , 3 )? ? ? ???范圍內(nèi)占總觀測(cè)值的 %，超出該范圍的只有 %。在這個(gè)范圍內(nèi)幾乎包含了所有的觀測(cè)值，這就是正態(tài)分布中的“ 3? 原則”。正態(tài)分布的“ 3? 原則”在實(shí)際工作中有著廣泛的應(yīng)用，比如工業(yè)生產(chǎn)上的控制圖、質(zhì)量管理、質(zhì)量控制等等。 14 中心極限定理 林德伯格 萊維中心極限定理：設(shè) ? ?nX 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且()iEX ?? ， 2( ) 0iVar X ???存在，若記 * 12 nn X X X nY n ??? ? ? ?? ， 則對(duì)任意實(shí)數(shù) y 有， 2* 21( ) ( )2limtynn P Y y y e d t?????? ? ? ? ? ?。 [4] 當(dāng) n?? 時(shí)， * 1 ~ ( 0 , 1 )niinXnYNn????? ? ，其中1()niiE X n?? ??， 21()niiD X n?? ??，可知 21 ~ ( , )nii X N n n????。即設(shè) 12, nX X X 獨(dú)立同分布， 2,iiEX DX????，則 n??時(shí)， 21 ~ ( , )nii X N n n????。由該定理可知，設(shè) ? ?nX 獨(dú)立同分布，方差存在，不管原來(lái)的分布是什么，只要當(dāng) n 充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機(jī)變量和的分布。[5] 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理：設(shè) n 重伯努利試驗(yàn)中，事件 A 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 (0 1)pp??，記 nS 為 n 次試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)，且記 * nn S npY npq?? ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) y ，有 2*21( ) ( ) 2lim tynn P Y y y e d t?????? ? ? ? ? ?。 [6] ~ (1, )iX b p ， iEX p? ， (1 )iDX p p??，1nniiSX???, 且 12, nX X X 獨(dú)立同分布，根據(jù)林德伯格 萊 維 中 心 極 限 定 理 可 知 ， 設(shè) ~ ( , )nS b n p ， n?? 時(shí)，~ ( , ( 1 ) )nS N np np p?。 2 正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用 教育評(píng)價(jià)是指在一定的教育價(jià)值觀的指導(dǎo)下，依據(jù)確立的教育目標(biāo)，通過(guò)使用一定的技術(shù)和方法，對(duì)所實(shí)施的各種教育活動(dòng)、教育過(guò)程和教育結(jié)果進(jìn)行科學(xué)判定的過(guò)程。 [7]它是教育部門評(píng)定學(xué)校工作的一個(gè)重要手段。 正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中有著廣泛的應(yīng)用，在教育實(shí)踐中同樣有很多現(xiàn)象符合或者接近正態(tài)分布。 比如學(xué)生的能力，學(xué)生的考試成績(jī)，比較學(xué)生以及老師的相對(duì)位置，評(píng)定等級(jí)人數(shù)的確定，考試錄取分?jǐn)?shù)線的確定 等等。 15 常見成績(jī)的分布規(guī)律 考試成績(jī)是反饋教學(xué)效果 ,檢測(cè)教學(xué)質(zhì)量 ,評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量的依據(jù)。因此，對(duì)考試成績(jī)做出定量分析是一項(xiàng)非常必要的工作。在大量考試成績(jī)研究中，可以看出，凡是符合教學(xué)規(guī)律的考試，它的總體成績(jī)都服從正態(tài)分布或者接近正態(tài)分布，考試分?jǐn)?shù)特別高的和考試分?jǐn)?shù)特別低的所占概率很小，處于中間分?jǐn)?shù)段的概率很大。但如果考試人數(shù)很少時(shí)，或者考題偏難或偏于容易，成績(jī)就會(huì)出現(xiàn)偏態(tài)分布。 上學(xué)期我在祁門二中實(shí)習(xí)了兩個(gè)月，在學(xué)校實(shí)習(xí)的期間，我?guī)У哪莻€(gè)班級(jí)經(jīng)?？荚?，每次考試成績(jī)都是由我來(lái)統(tǒng)計(jì)的。在大多數(shù)的考試中， 都會(huì)有 幾個(gè)同學(xué)得滿分，二三十分的也總會(huì)有幾個(gè)人，而大多數(shù)人的分?jǐn)?shù)都在 八十分左右。就拿我們班的期中考試成績(jī)來(lái)說(shuō)，成績(jī)分布情況如 圖 所 圖 數(shù)學(xué)期中考試成績(jī) 從圖中 可以看出這次期中考試成績(jī)基本服從正態(tài)分布，呈現(xiàn)中間高，兩頭低的分布趨勢(shì)。 在我統(tǒng)計(jì)的分?jǐn)?shù)中，也會(huì) 出現(xiàn) 原始分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布的，原因有 很 多種，可能由于考試試題特別難或者特別容易，也可能是因?yàn)榭荚嚨娜藬?shù)較少，還有可能是由于考紀(jì)偏松或者為了片面追求某種達(dá)標(biāo)的目的等等，這些因素都 有可 能造成考試成績(jī)的原始分?jǐn)?shù)呈偏態(tài)分布。 在 考試中會(huì)因?yàn)楦鏖T學(xué)科每次試題的難易程度不同，分值的意義就會(huì)不同，那么其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)有所不同。對(duì)于那些不同考試成績(jī)的原始分?jǐn)?shù)就不能用原始的代數(shù)方法來(lái)處理了，也不能進(jìn)行相互比較，因?yàn)樗鼈兊幕鶞?zhǔn)不同， 所有 就失去了可比性。 因此 單憑原始的分?jǐn)?shù)就無(wú)法準(zhǔn)確的確定學(xué)生成績(jī)的優(yōu)劣和其在集體中的相對(duì)位置。在 大多數(shù)的教育統(tǒng)計(jì)中，都將考試的原始分?jǐn)?shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) ， 只有這樣才能使教學(xué)評(píng)價(jià)更為公平、公正、客觀。 16 確定評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)位置 在實(shí)際的教學(xué)工作中，教學(xué)管理者會(huì)經(jīng)常對(duì)不同的學(xué)校、不同的班級(jí)、不同的教師的教學(xué)效果 進(jìn)行分析比較，進(jìn)而可以明確它們?cè)诳傮w中較為準(zhǔn)確的相對(duì)位置。 在實(shí)際的教學(xué)中，如果只是單一的依靠所測(cè)定的原始分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行分析比較，比如，總分?jǐn)?shù)、平均分等，這就存在著很大的不科學(xué)性，是不可取的。每次考試或者測(cè)定的原始分?jǐn)?shù)，盡管可以用來(lái)進(jìn)行橫向的比較，但始終屬于缺乏一定的參照點(diǎn)的非標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)分范圍。為了使評(píng)定更具客觀性、科學(xué)性，只有將這些非標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分，然后再進(jìn)行分析比較。前面所提到的 “標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) ”就是一種標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在總體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。 [8]然而， 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中又稱標(biāo)準(zhǔn)