蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章圓錐曲線(xiàn)與方程章末總結(jié)(編輯修改稿)
2025-01-10 09:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x1－ 2)(x2－ 2)＋ y1y2＝ 0. ∴ y1y2＋ x1x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0. ∴ m2－ 4k23＋ 4k2 ＋m2－3＋ 4k2 ＋16mk3＋ 4k2＋ 4＝ 0. ∴ 7m2＋ 16km＋ 4k2＝ 0， 解得 m1＝－ 2k， m2＝－ 2k7 ，且均滿(mǎn)足 3＋ 4k2－ m20. 當(dāng) m1＝－ 2k時(shí)， l的方程為 y＝ k(x－ 2)， 直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) (2,0)，與已知矛盾． 當(dāng) m2＝－ 2k7 時(shí)， l的方程為 y＝ k??? ???x－ 27 ，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) ??? ???27， 0 ， ∴ 直線(xiàn) l過(guò)定點(diǎn)． 例 5 解 因?yàn)?A(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè) A′ 為橢圓的左 焦點(diǎn)，則 A′( － 4,0)，由橢圓定義知 MA＋ MA′ ＝ 10. 如圖所示，則 MA＋ MB＝ MA＋ MA′ ＋ MB－ MA′ ＝ 10＋ MB－ MA′≤10 ＋ A′ B. 當(dāng)點(diǎn) M在 BA′ 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線(xiàn) BA′ 與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)max＝ 10＋ A′ B＝ 10＋ 2 10. 又如圖所示， MA＋ MB＝ MA＋ MA′ － MA′ ＋ MB ＝ 10－ (MA′ － MB) ≥10 － A′ B， 當(dāng) M在 A′ B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線(xiàn) A′ B與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)min＝ 10－ A′ B＝ 10－ 2 10. 例 6 解 由題意， F1F2＝ 2. 設(shè)直線(xiàn) AB方程為 y＝ kx＋ 1， 代入橢圓方程 2x2＋ y2＝ 2， 得 (k2＋ 2)x2＋ 2kx－ 1＝ 0， 則 xA＋ xB＝－ 2kk2＋ 2， xA178。 xB＝－ 1k2＋ 2， ∴ |xA－ xB|＝ k2＋k2＋ 2 . S△ ABF2＝ 12F1F2178。| xA－ xB|＝ 2 2179。 k2＋ 1k2＋ 2 ＝ 2 2179。 1k2＋ 1＋ 1k2＋ 1≤2 2179。 12＝ 2. 當(dāng) k2＋ 1＝ 1k2＋ 1，即 k＝ 0時(shí)， S△ ABF2有最大面積為 2. 章末總結(jié) 知識(shí)點(diǎn)一 圓錐曲線(xiàn)的定義和性質(zhì) 對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，要有運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)定義解題的意識(shí)， “ 回歸定義 ” 是一種重要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形結(jié)合思想、方程思想結(jié)合起來(lái) ．總之，圓錐曲線(xiàn)的 定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運(yùn)用． 例 1 已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 2， F1， F2為左、右焦點(diǎn)， P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且 ∠F 1PF2＝ 60176。 ， S△PF 1F2＝ 12 3，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 知識(shí)點(diǎn)二 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)一般有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離． 在直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的位置關(guān)系中有一種情況， 即直線(xiàn)與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn)， 二者在幾何意義上是截然不同的，反映在代數(shù)方程上也是完全不同的，這在解題中既是一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)十分容易被忽視的地方．圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的割線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)無(wú)限靠近時(shí)的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即 判別式等于零；而與圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)，是一種特殊的情況 (拋物線(xiàn)中與對(duì)稱(chēng)軸平行，雙曲線(xiàn)中與漸近線(xiàn)平行 )，反映在消元后的方程上，該方程是一次的． 例 2 如圖所示， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P(2， 0)且斜率為 k的直線(xiàn) l交拋物線(xiàn) y2＝ 2x于 M(x1，y1)， N(x2， y2)兩點(diǎn)． (1)求 x1x2與 y1y2的值； (2)求證： OM⊥ON. 知識(shí)點(diǎn)三 軌跡問(wèn)題 軌跡是解析幾何的基本問(wèn)題，求解的方法有以下幾種 ： (1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 (x， y)，根據(jù)幾何條件直接尋求 x、 y之間的關(guān)系式． (2)代入法：利用所求曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系 ，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．具體地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足的曲線(xiàn)的方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x、 y之間的關(guān)系
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