【文章內(nèi)容簡介】 頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖439），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習］△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1176。，邊長精確到1cm）（1）A＝45176。，C＝30176。，ｃ＝10cm．（2）A＝60176。，B＝45176。，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30176。．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115176。．△ABC中，已知下列條件，解三角形．（176。，）（1）ａ＝，ｂ＝，C＝176。．（2）ｂ＝，ｃ＝，A＝176。．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸△ABC中，有正弦定理＋h．，sin（α這涉及比值的連等式．請?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€什么樣的量，并加以證明．△ABC中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ ：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38176。，求B．（精確到1176。）分析：.∵0176。＜B＜180176。，∴B≈31176?；駼≈149176。，但當B≈149176。時，A＋B＝187176。，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31176。． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會不會出現(xiàn)無解的情形呢？（1）當A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計算B時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖4310．（2）當A為銳角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖4011．計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖4312．③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖4313．④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖4314．思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？第二篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇 40平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積教材分析兩個向量的數(shù)量積是中學代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學習．這節(jié)內(nèi)容的教學難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應用．教學目標、幾何意義和數(shù)量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學生的科學思維習慣．任務分析兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實數(shù)之積“ab”．通過實例理解ab＝bc與a＝c的關系，ab＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（ab）c＝a（bc）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學設計一、問題情景如圖401所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設e是單位向量，ae＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設ab是非零向量，則a⊥b（3）aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。，求ab． 解：ab＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝54cos120176。＝－10． ［練習］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）aｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。，求四、建立向量數(shù)量積的運算律．：從數(shù)學的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）ab＝ba（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）b＝λ（ab）＝a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝（λa）｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab）；當λ＝0時，（λa）b＝0b＝0＝λ（ab）． 總之，（λa）b＝λ（ab）； 同理a（λb）＝λ（ab）．（3）（a＋b）c＝ac＋bc（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝ca＋cb，∴（a＋b）c＝ac＋bc．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ab）c＝a（bc）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ab＝cb，那么a＝c嗎？五、應用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）（a＋b）＝ aa＋ab＋ba＋bb＝ a2＋2ab＋b2，22（a＋b）（a－b）＝aa－ab＋ba－bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。，求（a＋2b）（a－3b）． 解：（a＋2b）（a－3b）＝ a2－3ab＋2ba－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜cos60176。－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。． 22因此，當k＝177。時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1＋1＋2＋211cos90176。＋21［練習］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸＋＋．，b的夾角為銳角時，你能說明ab的幾何意義嗎？ 如圖403，ab，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2ab＝c2，∴2｜a｜｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。，…△ABC中，＝＝，問：O點在△ABC的什么位置？解：由同理⊥，＝⊥，即（－）＝0，即＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．點 評這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進行類比．以物理學中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關的綜合問題，越來越成為考查學生數(shù)學思維能力的一個重要方面．認識向量并會使用向量是這一部分的基礎，也是重點．總之，這篇案例較好地實現(xiàn)了教學目標，同時，關注類比方法的運用，以及學生數(shù)學思維水平的提高．美中不足的是，對學生的自主探究的引導似乎有所欠缺．第三篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇3539_平面向量及其應用向量的概念教材分析向量是近代數(shù)學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學重要的知識網(wǎng)絡的交匯點，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數(shù)學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節(jié)的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．教學目標，體驗數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維．，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．教學設計一、問題情景數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學．思考以下問題：，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．？二、建立模型 學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……引導學生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?人們在長期生產(chǎn)生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個實數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．在數(shù)學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定．任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． ，組織學生討論（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？（5）方向為南偏西60176。的向量與北偏東