【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 窗函數(shù)” ()gt b? ，其中參數(shù) b 用于平移動(dòng)窗以便覆蓋整個(gè)時(shí)域。實(shí)際上， Gabor 使用了一個(gè) Gaussian 函數(shù)作為窗函數(shù)。因?yàn)橐粋€(gè) Gaussian 函數(shù)的傅立葉變換還是一個(gè) Gaussian 函數(shù)，所以傅立葉逆變換也是局部的。 Gabor 變換是唯一能夠達(dá)到時(shí)頻測(cè)不準(zhǔn)的下界的函數(shù)，是圖像表示中一種較好的模式，它的最大優(yōu)點(diǎn)在于它能夠達(dá)到交叉熵的最低邊緣，能夠最好地兼顧信號(hào)在時(shí)域和頻 域的分辨率，而且人類(lèi)的視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)于這種函數(shù)有非常好的匹配特性。 Gabor 函數(shù)的這些特性，使得它在信號(hào)處理中獲得廣泛的應(yīng)用，特別應(yīng)用于低級(jí)視覺(jué)如紋理分割、光流估計(jì)、數(shù)據(jù)壓縮和邊緣檢測(cè)等。 Gabor 變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，且能最好地兼顧信號(hào)在時(shí)城和頻域地分辨率，但它同時(shí)也存在著自身不可克服的局限，即當(dāng)窗函數(shù) )(tg 確定后，窗口的形狀就確定了，因此 Gabor 變換是一種單一分辨率的分析 。 西南科技大學(xué)本科生畢業(yè)論文 13 目 前 Gabor 變換和 Gabor 展開(kāi)已被公認(rèn)是信號(hào)與圖像表示的最好的方法之一。Gabor 變換中要解決的最基本問(wèn)題是：在給定綜合窗下如何求解分析窗及 Gabor 變換系數(shù)。 Gabor 變換廣泛應(yīng)用的困難也就是在于找不到一種簡(jiǎn)單的計(jì)算變換系數(shù)的方法，因?yàn)?Gabor 基本函數(shù)彼此之間互不正交。近十幾年來(lái)，圍繞這一問(wèn)題國(guó)內(nèi)外相繼提出了很多解決方法，最主要的有以 Bastiaans、 Wexler 和 Qian 等人為代表的解析法， Daugman等人提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法以及 Ibrahim等人提出的自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法等等。但不論上述哪一種方法，均 為復(fù)數(shù)形式的 Gabor 變換。 Gabor 基本函數(shù)、 Gabor 展開(kāi)系數(shù)、雙正分析窗函數(shù)求解的約束條件式及 Gabor 展開(kāi)式都是復(fù)數(shù)形式，計(jì)算量很大。為了簡(jiǎn)化 Gabor 變換的計(jì)算，提出了一種實(shí)數(shù)形式的離散 Gabor 變換 (RDGT)方法，這種方法類(lèi)似于復(fù)數(shù)形式的離散 Gabor 變換的解析理論體系，并可采用快速的離散Hartley 變換算法計(jì)算 Gabor 變換系數(shù)，尤其是實(shí)數(shù)形式的離散 Gabor 變換系數(shù)與復(fù)數(shù)形式的離散 Gabor 變換系數(shù)的實(shí)部和虛部有著非常簡(jiǎn)單的加減關(guān)系，因此前者的計(jì)算完全可以替代后者的計(jì)算，從而達(dá)到大大減小 Gabor 復(fù)變換系數(shù)計(jì)算量的目的；同樣，在信號(hào)的重建方面，實(shí)數(shù)形式的離散 Gabor 逆變換也比復(fù)數(shù)形式的離散 Gabor逆變換快得多，并且在實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)值 Gabor 變換更方便于軟件和硬件的實(shí)現(xiàn)。 Gabor 小波變換的定義 由于 Fourier 變換存在著不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間和頻率局部分析的缺點(diǎn)， 1946 年Gabor 提出了一種加窗的 Fourier 變換方法，它在非平穩(wěn)信號(hào)分析中起到了很好的作用。在 Fourier 變換中，把非平穩(wěn)信號(hào)過(guò)程看作 是一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加，而短時(shí)性是通過(guò)時(shí)間上加窗來(lái)實(shí)現(xiàn)的。整個(gè)時(shí)域的覆蓋是由參數(shù) ? 的平移達(dá)到的。換句話(huà)說(shuō)，該變換是用一個(gè)窗函數(shù) ()gt?? 與信號(hào) ()ft相乘實(shí)現(xiàn)在 ? 附近開(kāi)窗和平移，然后施以 Fourier 變換，這就是 Gabor 變換也稱(chēng)短時(shí) Fourier 變換或加窗 Fourier 變換。Gabor 變換的定義由下式給出：對(duì)于 2( ) ( )f t L R? , ( , ) ( ) ( )jw tG f w f t g t e d t??? ?????? (21) 其中 ()jwtg t e? ?? 是積分核。該變換在 ? 點(diǎn)附近局部測(cè)量了頻率為ω的正弦分量的幅度。通常 ()gt 選擇能量集中在低頻處的實(shí)偶函數(shù)； Gabor 采用高斯 (Gauss)函數(shù)作窗的函數(shù)，相應(yīng)的 Fourier 變換以后仍舊是 Gauss 函數(shù)，從而保證窗口 Fourier 變換在時(shí)域和頻域內(nèi)均有局部化功能。令窗口函數(shù)為 ()agt，則有 西南科技大學(xué)本科生畢業(yè)論文 14 241() 2 t aag t ea? ?? (22) 式中 a 決定了窗口的寬度， ()agt的 Fourier 變換用 ()aGw表示，則有 222()44( ) ( )1122jw taatr jw tjw t a waaG w g t e d te e d t e d t eaa??? ?????? ? ???? ? ? ??? ? ???? (23) 由以上可以得到 ( , ) ( ) ( ) ( )jw taG f w d f t g t e d t F w? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? (24) 顯然，信號(hào) ()ft經(jīng)過(guò) Gabor 變換按窗口寬度分解了 ()f? 的頻譜 ()Fw，提取出它的局部信息。當(dāng) ? 在整個(gè)時(shí)間軸上平移時(shí)，就給出了 Fourier 的完整變換。相應(yīng)的重構(gòu)公式為： 1( ) ( ) ( )2 jw taf t G w g t e d w d t?? ?? ?? ? ? ????? (25) 窗口 Fourier 變換是能量守恒變換，即 221( ) ( )2 af t d t G w d w d ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? (26) 這里應(yīng)注意，積分核 ()jwtg t e? ?? 對(duì)所有 ω和 ? 都有相同的支撐區(qū)，但周期數(shù)隨 ω而變化。支撐區(qū)是指一個(gè)函數(shù)或信號(hào) ()ft的自變量 t 的定義域，當(dāng) t 在定義域內(nèi)取 值時(shí) ()ft的值域不為零，在支撐區(qū)之外信號(hào)或過(guò)程下降為零。 為了研究窗口 Fourier 變換的時(shí)頻局部化特性就要研究 2,wg? 和 2,wG? 的特性。這里 ,wG? 是 ,wg? 的 Fourier 變換。由于 Fourier 變換是能量守恒的，所以有 Parseval 定理存在。即： ,1( ) ( ) ( ) ( )2wwf t g t d t F w G w d w?????? ? ? ???? (27) 這里的 ()gt 和 ()Gw分別是 ,wg? 和 ,wG? 的復(fù)共軛函數(shù)，當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，兩種表示是相等的。如果把上述函數(shù)乘積的積分運(yùn)算用內(nèi)積符號(hào)表示，則有 西南科技大學(xué)本科生畢業(yè)論文 15 , ( ) ( )f y f x y x dx???? ? 2, ( )f y L R? (28) 其中 f 和 y 都是在實(shí)數(shù)域的平方可積函數(shù)。由此： , , 39。1, ( )2wwf g G F w???? (29) 當(dāng) ( ) ( )f x y x? 時(shí)有 : 22f ,f = f ( x ) d t= f ( x )??? 其中 f(x) 叫做 ()fx的范數(shù)。 這一表達(dá)式的物理意義是 Fourier 變換的時(shí)域 t 和頻域 w 的一對(duì)共扼變量 ( ,)wt 具有對(duì)易關(guān)系，從而使 Fourier 變換與加窗口的 Fourier 變換具有對(duì)稱(chēng)性。如果用角頻率變量 r 代替時(shí)間變量 t ，用頻域窗口函數(shù) ()Gr w 代替時(shí)域窗口函數(shù) ()gtt 則可得到： drerGrFpdreewrGrFptwGf j r ttwj w ri w t ??? ??? )()(2 1)()(2 1),( , (210) 這里 , ()wGr? 是時(shí)域窗口函數(shù) , ()wgt? 的 Fourier 變換。該式的意義在于頻域中的信號(hào) ()Fr 通過(guò)窗口函數(shù) , ()wGr? 的加窗作用獲得了 ()Fr 在頻域 ω附近的局部信息即： ( ) ( ) ( )F w G r w F r= (211) 如果選用窗口函數(shù)在時(shí)域和頻域均有良好的局部性質(zhì)，那么可以說(shuō) Fourier 變換給出了信號(hào) ()ft的局部時(shí)一頻分析。這樣就有利于同時(shí)在頻域和時(shí)域提取信號(hào) ()ft 的精確信息 。 Gabor 變換在人臉識(shí)別中的應(yīng)用 Campben 和 Robson 提出并在心理學(xué)實(shí)驗(yàn)中證實(shí)，人類(lèi)的視覺(jué)具有多通道和多分辨率的特征，因此，近年來(lái)基于多通道、多分辨率分析的算法受到廣泛重視 [11]。在諸如信號(hào)檢測(cè)、圖象壓縮、紋理分析、圖象分割和識(shí)別等領(lǐng)域， Gabor 小波得到了非常廣泛的應(yīng)用。大量基于簡(jiǎn)單細(xì)胞接受場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)表明，圖像在視覺(jué)皮層的表示存在空域和空頻域分量，并且可以將一幅圖像分解為局部對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)的基函數(shù)表示， Gabor函數(shù)正是這種基信號(hào)的良好近似。 用 ZD 一 Gabor 小 波來(lái)表征圖像，將 Daubeehies 的一維框架理論拓展到二維，并證明在一定條件下， ZD 一 Gabor 小波是緊框架，原圖像能從小波系數(shù)重建，西南科技大學(xué)本科生畢業(yè)論文 16 因此用小波變換的系數(shù)幅值作為特征來(lái)匹配有著良好的視覺(jué)特性和生物學(xué)背景，Gabor 小波的這些特性使得其對(duì)于亮度和人臉表情的變化不敏感，在人臉識(shí)別和圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用。 Lades 等首先提出用基于 Gabor 變換的彈性圖匹配算法進(jìn)行人臉識(shí)別。節(jié)點(diǎn)上的 Gabor 濾波響應(yīng)作為人臉特征，通過(guò)特征匹配和節(jié)點(diǎn)幾何位置的匹配實(shí)現(xiàn)人臉識(shí)別。 Gabor 濾波器 在實(shí)驗(yàn)室中我們用的最多的是 Gabor 濾波器。根據(jù) Gabor 變換的原理和實(shí)際需要，可構(gòu)造不同的 Gabor 濾波器。 Gabor 濾波器在圖像處理中的特征提取、紋理分析和立體視差估計(jì)等方面有許多應(yīng)用。有研究表明神經(jīng)細(xì)胞的感受也可以用 Gabor 函數(shù)來(lái)表示。 Gabor 濾波能夠體現(xiàn)出不同的方向性和尺度性。 Gabor 函數(shù)從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一個(gè) Gauss 函數(shù)窗所限制的濾波函數(shù)。通過(guò)定義不同的 Gabor 函數(shù)核，就可以得到一組 Gabor 濾波器。 Gabor 核函數(shù)的定義 : )2e x p ()e x p (2e x p)(222222 sxkis xkskxy jjjj ??????????? ?? ??? （ 212） Gabor 濾波可以定義為： 2 2 2 2( ) ( ) ( )jjJ x I x x x d x= Y 242。 （ 213） 下面我們對(duì)式（ 212）中 的各項(xiàng)參數(shù)作一個(gè)說(shuō)明： exp( )jik x 是一個(gè)振蕩函數(shù)，實(shí)部 為余弦函數(shù)，虛部為正弦函數(shù)。 )2exp( 222?xk j? 是 Gauss 函數(shù)，這實(shí)際上是通過(guò)加窗限制了函數(shù)的范圍，使其在 局部有效。由 Gauss 函數(shù)的局部性可知，這個(gè)濾波器實(shí)際上抽取 x 附近的特征，因此可以看作是一種 Gabor 小波。 2exp( )2?? 是直流分量，這樣濾波器就可以不受直流分量大小的影響。 向量 jk 描述了濾波器對(duì)不同方向和不同尺度的響應(yīng)，通過(guò)選取一系列的 jk ，就得到了一族 Gabor 濾波器， ? 是一個(gè)常量， ? 和 jk 一起刻畫(huà)了 Gauss 窗的波長(zhǎng)。這里取? =π/2， jk 可以表示為： 西南科技大學(xué)本科生畢業(yè)論文 17 co ssi njx vujy v uk kj k kk jj== 這里 222, 8vvukuppj+== （ 214） 選取不同的下標(biāo) ? 可以描述不同的 Gauss 窗波長(zhǎng)，從而控制采樣的尺度。選取不同的下標(biāo) ? 可以描述振蕩函數(shù)不同的振蕩方向，從而控制采樣的方向。我們這里選取? =0 ,1， 2 這樣可以在 3 個(gè)不同的尺度上采樣。選取 ? =0 ,...,3 這樣就可以在 4 個(gè)不同的方向上采樣 [13]。各個(gè)濾波器窗口的大小為 3232,確定濾波器的所有參數(shù) (可自己決定 )后 ,當(dāng)采取上述的參數(shù)后 ,可得如下圖 的 12 個(gè)濾波器 (圖片源代碼詳見(jiàn)附錄一 )。 圖 Gabor 3 個(gè)尺度 4 個(gè)方向的濾波器 另外， Gabor 函數(shù)是唯一能夠達(dá)到空域和頻域聯(lián)合測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系下界的函數(shù)，用Gabor函數(shù)形成的二維 Gabor濾波器具有在空間域和頻率域同時(shí)取得最優(yōu)局部化的特性，因此能夠很