畢業(yè)設(shè)計-待定系數(shù)法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-08 18:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?，則可設(shè) 322 2 2 22 2 3 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1x x x A B C x Dx x x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?，則3 2 2 2 22 2 3 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )x x x A x B x x Cx D x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32( ) ( 2 )B C x A B C D x? ? ? ? ? ? ( 2 ) ( )B C D x A B D? ? ? ? ? ?, 由相等的多項式各項系數(shù)相等可列出方程組 杭州師范大學(xué)本科生學(xué)年設(shè)計（論文）正文 第 6 頁 共 11 頁 222232BCA B C DB C DA B D???? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??, 解以上方程組得 122012ABCD? ?????? ???????,故 522( 1) ( 1)xxx??=221 2 12 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 )x x x x? ? ? ?? ? ?． 5． 3 用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 例 3 已知橢圓 221xyab?? ( 0)ab?? 的離心率為 22 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點 1F ， 2F 為頂點的三角形的周長為 4( 2 1)? ． 一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè) P 為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線 1PF 和 2PF 與橢圓的交點分別為 A ， B 和 C ，D ． 求橢圓和雙曲線的標準方程（ 2021 年山東高考） ． 分析：要用待定系數(shù)法求解解析式 ，首先要知道函數(shù)解析式的 形式，然后用字母表示出解析式 ． 然后根據(jù)題目中給出的已知條件解出未知數(shù)，最后寫出解析式 ． 解：設(shè)橢圓的半焦距為 c，由題意可得： 橢圓的離心率為 22ca? ， 根據(jù)幾何關(guān)系，可得到關(guān)系式 2 2 4( 2 1)ac? ? ?， 聯(lián)立上兩式解方程組，得 22a? ， 2c? ， 又根據(jù)關(guān)系式 2 2 2a b c??，可得 2b? ． 故橢圓的標準方程為 22184xy??． 杭州師范大學(xué)本科生學(xué)年設(shè)計（論文）正文 第 7 頁 共 11 頁 由題意可設(shè)等軸雙曲線的標準方程為 221xymm??( 0)m?，又由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以有 2m? ． 評析： 用待定系數(shù)法求方程的解析式，不僅可以求橢圓、雙曲線，一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單能估計其解析式形式的題型 ． 例 4 是否分別存在 滿足下列條件的函數(shù) ()fx： （ 1） ()fx是三次函數(shù)，且 (0) 3f ? ， (0) 0f? ? ， (1) 3f? ?? ， (2) 0f? ? ； （ 2） ()fx? 是一次函數(shù)，且 2 ( ) ( 2 1 ) ( ) 1x f x x f x? ? ? ?． 如 存在，求出 ()fx的表達式；若不存在，說明理由 ． 分析：首先假設(shè) 函數(shù) 存在，用字母設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知的 條件 建立方程或方程組，解方程組，求出未知數(shù)，寫出函數(shù)解析式 ． 解：（ 1）設(shè) 32()f x ax bx cx d? ? ? ?( 0)a? ，則 2( ) 3 2f x ax bx c? ? ? ?． 由題意可建立方程式，得 303 2 312 4 0dca b ca b c??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??， 解以上方程組，得 1303abcd??? ???? ??? ??， 故存在滿足條件的的函數(shù) ()fx存在，表達式為 32( ) 3 3f x x x? ? ?． （ 2） 假設(shè) ()fx 存在， 由 ()fx? 是一次函數(shù)可知 ()fx 是二次函數(shù)， 故可設(shè)2()f x ax bx c? ? ?( 0)a? ，則 ( ) 2f x ax b? ??． 將 ()fx和 ()fx? 代入已知條件，得 22( 2 ) ( 2 1 ) ( ) 1x a x b x a x b x c? ? ? ? ? ?， 整理得 2( ) ( 2 ) 1a b x b c x c? ? ? ? ?
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