【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 5 ()wn 的頻率響應(yīng)的幅度特性為 22( ) 0 .4 2 ( ) 0 .2 5 [ ( ) ( ) ]11440 .0 4 [ ( ) ( ) ]11R R RRRw n W W WNNWWNN??? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ??? （ 2－ 10） 4．凱塞（ Kaiser）窗 這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，是一種最優(yōu)和最有用的窗。其公式為 ： 200( 1 [1 2 / ( 1 ) ] )() ()I n Nwn I? ?? ? ?? 01nN? ? ? （ 2－ 11） 式中， 0()Ix是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)， ? 是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)。凱塞窗的優(yōu)點(diǎn)： 1．凱塞窗可提供變化的過(guò)渡帶寬，通過(guò)改變 ? 的值可達(dá)到最陡的過(guò)渡帶 ； 2．凱塞窗具有與海明窗相匹敵的特性，通過(guò)調(diào)整 ? 的值，可將凱塞窗完全等價(jià)于海明窗； 3．凱塞窗最大旁瓣值比主瓣約低 80dB，在所有的窗函數(shù)中旁瓣抑制度最高。 綜合以上窗函數(shù)特點(diǎn)，選用最優(yōu)和適應(yīng)性較強(qiáng)的凱塞窗來(lái)設(shè)計(jì) FIR 濾波器。 用頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 所謂頻率抽樣法就是從頻域出發(fā)，根據(jù)頻域的采樣定理，對(duì)給定的理想濾波器的頻域響應(yīng)進(jìn)行等間隔采樣 [4][5] ( 2 )( ) ( )jddk NH e H k? ??? ? 0,1... 1kN?? （ 2－ 12） 把 ()dHk當(dāng)作待設(shè)計(jì)的濾波器頻率響應(yīng)的采樣值 ()Hk ，通過(guò)下式可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz和頻率響應(yīng) ()jHe? ： 110 ()1( ) ( ) (1 ) 1NNkk NHkH Z ZN WZ??????? ?? （ 2－ 13） 102( ) ( ) ( )NjkH e H k kN? ???????? （ 2－ 14） 其中， ()?? 是一個(gè)內(nèi)插函數(shù) ： ( 1 ) 2sin( )1 2()sin( )2jNNeN ???? ? ??? 2j NNWe?? （ 2－ 15） 由于頻譜的有限個(gè)采樣值恢復(fù)出來(lái)的頻率響應(yīng)實(shí)際上是對(duì)理想頻率響應(yīng)的逼近，因此，這種方法必然有一定的逼近誤差。若被逼近的頻率響應(yīng)比較平滑，則各采樣點(diǎn)之間的逼近誤差 較小 ； 反之，則逼近誤差較大。 6 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 上述兩種方法設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)都不很理想，即通帶不夠平，阻帶衰減不夠大，過(guò)渡帶過(guò)寬，頻率邊緣不能精確指定。 Chebyshev 方法是最佳一致逼近法。 數(shù)字濾波器頻域設(shè)計(jì)的最優(yōu)方法 —— 等波紋切比雪夫法，是采用最大誤差最小準(zhǔn)則得到最優(yōu)數(shù)字濾波器，而且其最優(yōu)解唯一。 對(duì)于 I 型 FIR 數(shù)字濾波器，其頻響可表示為 ： 1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s ( )Lje e enA e h h n n? ???? ? （ 2－ 16） 其中， ()ehn為濾波器系數(shù)， 2ML? ， M 為濾波器階數(shù)。 （ 2－ 16） 式中的cos( )n? 項(xiàng)可表示為不同冪次之和，形式為 cos( ) (cos )nnT??? ，這里 ()nTx是 n次切比雪夫多式， 1( ) c os( c os )nT x n x?? 。 故， ()jeAe? 可改寫(xiě) 0( ) (c o s )LjkekkA e a? ??? ? （ 2－ 17） 其中， ka 是與 ()ehn相關(guān)的常數(shù)。我們定義逼近誤差函數(shù)為 ： ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]jjdeE W H e A e????? ? ? （ 2－ 18） 其中， ()W? 為加權(quán)函數(shù)，要求 ()E? 、 ()W? 及 ()jdHe? 只在 0 ????區(qū)間有定義。最大誤差最小準(zhǔn)則即是在所要求頻域上找出使 （ 2－ 18） 式的最大加權(quán)逼近誤差達(dá)最小的頻響 ()jeAe? 。其表達(dá)式為 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( 1 )1 , 2 . . . ( 2 )jjjj ij j d eE W H e A eiL??? ? ??? ? ? ? ??? （ 2－ 19） (m ax ( ) )iFEE? ??? （ 2－ 20） ? 為最優(yōu)誤差。 (2－ 19)、 (2－ 20)式說(shuō)明逼近誤差 ()iE? 至少要有 L+2 交錯(cuò)點(diǎn)，從而使 E 最小， ()jeAe? 唯一。由 (2－ 17)、 (2－ 19)式可以解出系數(shù)組 ka 和? 。另一種更為有效的方法是多項(xiàng)式內(nèi)插公式，可求得 21121()( 1)()iLjkdkkLk kb H eW????????? ??? （ 2－ 21） 其中 21,1Lki i k kib xx???? ??， 也即若 ()jeAe? 由滿足 (2－ 17)、 (2－ 19)式確定的 ka 并且 ? 由 (2－ 21)式給出，則誤差函數(shù)就會(huì)通過(guò) (L+2)個(gè)頻率 i? 上的 ?? 處。而為避免求解復(fù)雜方程組 (2－ 17)、 (2－ 19)來(lái)得出系數(shù)，有 7 2121[]()()[]()Lk kkj ke Lkkkd cxxAedxx?????????? （ 2－ 22） 其中， 1( 1 )()()kkjkd kc A e W? ??????， 121, 1 ()Lk k k Li i k kid b x xxx????? ? ???， 這里令cosx ?? ， cosiix ?? 。 通過(guò) (2－ 22)式可計(jì)算通帶和阻帶中多處頻域的 ()jeAe? 和 ()E? 值。若對(duì)通帶和阻帶中的所有 ? ，都有 ()E??? ，則說(shuō)明已達(dá)到最佳逼近。否則，需計(jì)算出新的極值頻率。 FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 本小節(jié)主要介紹 FIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)和常用的濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)方法。 FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) FIR 濾波器的傳遞函數(shù)一般有如下形式： 10( ) [ ]N nnH z h n z? ???? （ 2－ 23） 其基本結(jié)構(gòu)有以下幾種 ： 直接型，級(jí)聯(lián)型，線性相位型，頻率采樣型。 1．直接型 直接型也稱卷積型或橫截型，稱為卷積型，是因差分方程是信號(hào)的卷積形式；稱為橫截型，是因?yàn)闉V波器是一條輸入 ()xn 延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)。直接由差分方程可畫(huà)出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。其結(jié)構(gòu)圖如圖 2－ 1 所示。 1100( ) ( ) ( ) ( )NNrniy n b x n r h i x n i????? ? ? ??? （ 2－ 24） 式中， rb 為實(shí)數(shù) ； ()xn 為輸入序列， ()yn 為輸出序列， ()hi 單位采樣響應(yīng)。 直接型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是： 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，乘法運(yùn)算量較少； 缺點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)較難。 2．級(jí)聯(lián)型 (串聯(lián)型 ) 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將傳遞函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式： 2 120 1 21( ) ( )Nk k kkH z Z Z? ? ????? ? ?? （ 2－ 25） 式中， ()Hz為 ()hn 的 z 變換； 0k? ， 1k? ， 2k? 為實(shí)數(shù)。 8 該結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)是 ： 所需要的系數(shù)比直接型的 ()Hz多 ； 需要進(jìn)行因式分解，而且較直接型需要更多的乘法器，乘法運(yùn)算多于直接型。 3．線性相位型 FIR 濾 波器的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器，其單位沖擊響應(yīng)有如下特性 ： ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? （ 2－ 26） 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)， 12 ( 1 )0( ) [ ][ ]N n N nnH z h n z Z? ? ? ? ????? （ 2－ 27） 其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (信號(hào)流圖 )如圖 23(a)所示 當(dāng) N 為奇數(shù)， 12 1[]( 1 ) 201( ) [ ] [ ] ( )2N nn N nnNH z h n z Z h z? ??? ? ? ???? ? ?? （ 2－ 28） 該結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是 ： 簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 4．頻率采樣型 系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上作 N 等分 取樣就是單位取樣響應(yīng) ()hn 的離散傅里葉變換 ()Hk 。 ()Hk 與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系可用內(nèi)插公式表示 ： 110 ()1( ) ( ) (1 ) 1NNkk NHkH Z ZN WZ??????? ?? （ 2－ 29） 其中， 2exp ( )KNW jk N??? 頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)： 1．選頻性好，適于窄帶濾波，這時(shí)大部分 ()Hk 為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò) ； 2． 不同的 FIR 濾波器，若長(zhǎng)度相同，可通過(guò)改變系數(shù)用同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn) ； 3． 復(fù)用性好。 缺點(diǎn) ： 1． 具體實(shí)現(xiàn)時(shí)難免存在誤差，零、極點(diǎn)可能不能正好抵消，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定； 2． 結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用的存貯器多。 FIR 濾波器常表示為直接型和轉(zhuǎn)置型兩種結(jié)構(gòu)，兩種結(jié)構(gòu)的功能是等效的。直接型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè)，一是移位寄存器存儲(chǔ)的是位寬較小的輸入數(shù)據(jù) ； 二是當(dāng) FIR 濾波器為線性相位時(shí)，可以利用其系數(shù)對(duì)稱的特點(diǎn)，將乘法器個(gè)數(shù)減半，加法器個(gè)數(shù)不變。目前用資源豐富的 FPGA 等硬件設(shè)計(jì)長(zhǎng)階 數(shù) FIR濾波器時(shí)，幾乎 都采用轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)格式都是定點(diǎn)型的。 本章小結(jié) 本章主要介紹了 FIR 濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，分別介紹了 FIR 濾波器的定義與分類、 FIR 濾波器的幾種設(shè)計(jì)方法和實(shí)現(xiàn)方法，為后面 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。 9 第 3章 基于 MATLAB 的 FIR 濾波器的設(shè)計(jì) MATLAB 簡(jiǎn)介 MATLAB 語(yǔ)言是當(dāng)今國(guó)際上科學(xué)界最具影響力、也是最有活力的軟件之一。 在 MATLAB 中提供了一些濾波器的函數(shù)，使 FIR 濾波器的運(yùn)算更加方便和快速。 新版本的 MATLAB 軟件 ()己經(jīng)集成了 TI 公司的 C2021，C5000， C6000 系列 DSP 的開(kāi)發(fā)工具包， 支持 C24X 及 C28X 系列的 DSP 處理器。在 C24X 系列 DSP 工具箱中包含了 DSP 處理器中的模 /數(shù)轉(zhuǎn)換 ADC， CAN發(fā)送及接收、 PWM 控制等模塊。 基于 MATLAB 的 FIR濾波器的設(shè)計(jì) 在本小節(jié)中將使用 MATLAB 來(lái)進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 MATLAB 中的 fdatool 工具集成了數(shù)字濾波器的各種設(shè)計(jì)方法，簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過(guò)程。本文利用MATLAB 中的 fdatool 工具設(shè)計(jì)一個(gè) fir 數(shù)字低通濾波器。 設(shè)計(jì)要求 以下列輸入信號(hào)為例 ： 1 2 3( ) sin 2 sin 2 ( 2 ) c o s 2 ( 2 )x n f n f n f n? ? ?? ? ? ? ? 1 hz? ； 2 hz? ； 3 hz? ； 設(shè)計(jì)一個(gè) fir 數(shù)字低通濾波器，濾除 2f 和 3f 的信號(hào)成分。 濾波器指標(biāo) 根據(jù)采樣定律，采樣頻率 sf 應(yīng)大于或等于所有信號(hào)頻率成分中，最大頻率的兩倍。取采樣頻率 1sf hz? 。所設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的邊界頻率應(yīng)滿足 ：12pa ss stopf f f f? ? ?， 取通帶截止頻率 ? ，阻帶截止頻率 ? 。 設(shè)計(jì)過(guò)程 MATLAB 集成了一套功能強(qiáng)大的濾波器設(shè)計(jì) 工具 fdatool，可以完成多種濾波器的設(shè)計(jì)、分析和性能評(píng)估。 1．啟動(dòng) fdatool： 打開(kāi)的 fdatool 界面，如 31 圖所示： 2．濾波器設(shè)計(jì) ： 濾波器類型 (Filter type) 包括 ： 低通 (Lowpass)、高通 (Highpass)、帶通 (Bandpass)和帶阻 (Bandstop)。選為低通 (Lowpass)。 設(shè)計(jì)方法 (Design Method)： 選為窗函數(shù)法 (Window)，采用凱塞 (kaiser)窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器。 濾波器階數(shù) (Filter Order) 10 包括 ： 指定階峰 (Specify Order)和最小階數(shù) (Minimum Order)。 采樣頻率 fs=lhz； 通帶截止頻率 fpass=； 阻帶截止頻率 fsto