【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，即是直接 Ⅰ型和直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)。 級(jí)聯(lián)型：此形式中，把系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)因式分解成二階子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)叫做二階環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示成這些二階環(huán)節(jié)的乘積形式。每個(gè)二階環(huán)節(jié)以直接形式出現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。 并聯(lián)型：此形式與級(jí)聯(lián)的形式類似，但因式分解后，是用部分分式展開把 H(z)表示成二階子系統(tǒng)的和，每一個(gè)子系統(tǒng)由直接形式實(shí)現(xiàn)。整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以子 系統(tǒng)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。 以下對(duì)這三種主要結(jié)構(gòu)做具體介紹。 直接 I 型 從（ 28）式的差分方程可以看出，系統(tǒng)的輸出 y(n)由兩個(gè)部分構(gòu)成： 第一部分是 ?? ?Mk k knxb0 )( ，表示將輸入信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 M 節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭與常系數(shù) kb 相乘，然后再把結(jié)果相加，這是一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。即實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)。 8 第二部分為 ?? ?N1k )( knyak ，表示將輸出信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 N節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭后與常系數(shù) ka 相乘，然后再把結(jié)果相加。由于這部分是對(duì)輸出的延時(shí)，故為反饋網(wǎng)絡(luò)，這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。 系統(tǒng)的輸出 y(n)由以上這兩部分組成，其信號(hào)流程圖如圖 23所示。該圖表示的是直接Ⅰ 型 IIR 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。 圖 23 直接 Ⅰ 型 直接 II 型 圖 23 中的系數(shù)組 ib 相應(yīng)于 H(z)的分 子多項(xiàng)式，而系數(shù)組 ia 相應(yīng)于 H(z)的分母多項(xiàng)式。因此，圖 23 可以解釋為兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)組成。在線性時(shí)不變系統(tǒng)情況下，級(jí)聯(lián)型系統(tǒng)總的輸入 輸出關(guān)系和子系統(tǒng)的先后次序無關(guān)。如果先實(shí)現(xiàn) H(z)的極點(diǎn)，后實(shí)現(xiàn) H(z)的零點(diǎn)，并且合并 1?z 的支路，則可得出 IIR 系統(tǒng)直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)，其信號(hào)流圖如圖 24 所示。 直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)的 IIR 系統(tǒng)的表達(dá)式如式（ 211）所示： )()(11)(2110zHzHzazbzH NkkkMkkk ?????????????????????????? （ 211） 9 2a? 1a? 1?? NaNa? Nb?2b1b1?z ][ky1?z1?z1?z? 0bx [ k ] 圖 24 直接 Ⅱ 型 對(duì)于 N 階差分方程，直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)只需 N 個(gè)延時(shí)單元，比直接 Ⅰ 型結(jié)構(gòu)的延時(shí)單元少一半。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。而在硬件實(shí)現(xiàn)，可節(jié)省寄存器，故直接 Ⅱ 型IIR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)好于直接 Ⅰ 型 IIR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 直接型的共同缺點(diǎn)： 對(duì)濾波器的性能控制作用都不明顯。 極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化很靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。 運(yùn)算的累積誤差大。 級(jí)聯(lián)型 直接形式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可直接由（ 210）式的系統(tǒng)函數(shù)得到 。如果把分子分母多項(xiàng)式都進(jìn)行因式分解，則可將 H(z)寫成： ???????????????????????21211111111111)1)(1()1()1)(1()1()( NkkkNkkMkkkMkkzdzdzczhzhzgAzH （ 212） 式中的 21 2MMM ?? 和 21 2NNN ?? 。在式（ 212）中，一階因式表示實(shí)零點(diǎn) kg 和實(shí)極點(diǎn) kc 。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。當(dāng)在式（ 210）中的所有系數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，式（ 212）表示了該系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布。此式表示由一階與二階子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的一組結(jié)構(gòu)形式。而我們已知，一個(gè) N 階的系統(tǒng)函數(shù)可以10 用它的零、極點(diǎn)表示。由于 H(z)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因此零、極點(diǎn)只有兩種可能，可能為實(shí)數(shù)，或者為復(fù)共軛對(duì)。則整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以完全分解成實(shí)系數(shù)二階因子的形式，即 ?? ?? ?? ?? ??? cNkkkkk zaza zbzbAzH1 2211221111)( （ 213） 其中 cN 表示 (N+1)/2的最大整數(shù)。在此情況下我們已經(jīng)假設(shè) NM? ，在將 H(z)寫成此 形式時(shí)，假設(shè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和實(shí)數(shù)零點(diǎn)都已經(jīng)合并，并具有奇數(shù)個(gè)數(shù)零點(diǎn)，則系統(tǒng) kb2 有一個(gè)等于零。同樣，如果具有奇數(shù)個(gè)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng) ka2 也有一個(gè)等于零。從前面對(duì)直接形式的討論知道，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接 Ⅱ 型實(shí)現(xiàn)，就可以得到使用存儲(chǔ)最少的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 一個(gè)四階的系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖 25 所示： a 1 1 z 1 b 1 1 a 2 1 z 1 a 1 2 z 1 b 1 2 a 2 2 z 1b2 1 b 2 2Ax ( n ) y ( n ) 圖 25 四階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu) 應(yīng)該特別指出： 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的靈敏度特性優(yōu)于直接型結(jié)構(gòu)。 每一級(jí)分子的系數(shù)確定一對(duì)零點(diǎn)，分母的系數(shù)確定一對(duì)極點(diǎn)，由于子網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)也即整體網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)，所以整個(gè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)都能準(zhǔn)確的由每一級(jí)的系數(shù)來調(diào)整和控制，這樣便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)具有的存儲(chǔ)器最少。 并聯(lián)型 作為系統(tǒng)函數(shù)的另外一種表示形式，可以將 H(z)表示成如下形式的部分分式進(jìn)行展開： ??? ? ?? ?? ?? ? ?? ????? 210 1 1*1 10 10 )1)(1( )1(1)( NkkkkkNk kkNkkk zpzp zeBzdAzGzH （ 214） 11 由于在 式 (210)中的 H(z)系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此，此式中各系數(shù)均為實(shí)數(shù)。如果 NM? ，則在式 (214)中不包括 ?? ?00NkkkzG 項(xiàng)。上式可以解釋為一階與二階系統(tǒng)的并聯(lián)組合。如果將實(shí)數(shù)極點(diǎn)成對(duì)組合，則可寫成 ?? ? ?? ?? ? ?? ??? ps Nk kk kkNk kk zaza zeezGzH 1 2211 1100 1)( (215) 對(duì)應(yīng)的信號(hào)流程圖如圖 26 所示： G 1z 1G N sz N s a 1 1G 0z 1e 1 1e 0 1 a 2 1z 1e 0 P s a 1 P s a 2 P sz 1z 1e 1 P sx ( n ) y ( n ) 圖 26 N 階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)支路的極點(diǎn)也是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，而并聯(lián)支路的零點(diǎn)卻不是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，因此并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)能獨(dú)立的調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)位置，但不能控制零點(diǎn)。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小 [7]。 12 第 3 章 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為： )()(1)(10zXzYzazbzH NkkkMkkk????????? 假設(shè) M≤N，當(dāng) M＞ N時(shí) ,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè) IIR的子系統(tǒng)和一個(gè) (MN)的 FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù) ka 和 kb ，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在 S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在 z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的 特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng) ha(t)，即將 ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT)，式中 ,T 是采樣周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z 變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得（ 31）式： ? ????? ????? ????? k ksaez TjsXTjksXTzX sT )2(1)(1)( ? (31) 由圖 1 可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的 Z 面，這個(gè)從 s 到 z 的變換 sTez? 是從 S 平面變換到 Z 平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。 13 圖 31 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 由（ 31）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為： ???????k aj T kjHTeH )2(1)( ??? (32) 這就是 說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即： 0)( ??? jH a 2sT???? ? (33) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻 率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即： )(1)( TjHTeH aj ??? ??? (34) 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖 32所示。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊 失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 14 圖 32 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs 增加，即令采樣時(shí)間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn) 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω之間呈線性關(guān)系 ω=ΩT。因而 ，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。 用雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺?S 平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一個(gè)缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮的方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π/T～ π/T 之間，再用 z=esT 轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。也就是說，第一步先將整個(gè) S 平面壓縮映射到 S1 平面的 π/T～ π/T 一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T 將此橫帶變換到整個(gè) Z平面上去。這樣就使 S 平面與 Z 平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 3 所示。 15 圖 33 雙線性變換的映射關(guān)系 為了將 S 平面的整個(gè)虛軸 jΩ壓縮到 S1 平面 jΩ1軸上的 π/T到 π/T段上， 可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) )2tan(2 1TT ??? （ 35） 式中 ,T 仍是采樣間隔。 當(dāng) Ω1由 π/T 經(jīng)過 0 變化到 π/T 時(shí)， Ω由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ軸。將式（ 35）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj ????????? 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 sj ?? ， 11 sj ?? ，則得 TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 111111112)2t a n(22 12/2/2/2/????????????? 再將 S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112??????zzTs （ 36） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 37） 式（ 36）與式（ 37）是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變