【文章內容簡介】 頻率響應，采用窗函數(shù)將無限脈沖響應 )(nhd 截取一段 h(n)來近似)(nhd ，可得： )()()( nwnhnh d? (340) 從而有： ??? ?? 10 )()( Nn nznhzH (341) 式中 N 表示窗口長度，這樣 )(zH 就是物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)。 由線性相位 FIR 濾波器的充要條件可知，為了獲得線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的沖激響應 h(n)，那么序列 h(n)應有 21??N? 的延遲。 由于這種方法是用一定寬度窗函數(shù)截取無限脈沖響應序列，獲得有限長脈沖響應序列，從而得到 FIR 濾波器窗函數(shù)設計法。 數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設計 假設理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 如圖示，其幅頻特性為1)( ??jd eH ，那么該濾波器的： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 15 頁 共 43 頁 ?????????? ?????????ccjjd eeH ,0 ,1)( (342) 其中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示 采樣延遲。 圖 理想低通數(shù)字濾波器頻率響應 由此可得理想數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應 )(nhd 為： ? ?)( )(s in12 1)(2 1 ?? ?????? ?? ??????? ? ????? ?? ? ?? n ndeedeeHh jjnjjdd cc (343) 可知 )(nhd 為無限非因果序列，關于 ? 對稱。 為了從 )(nhd 得到一個因果線性相位的 FIR 濾波器，必須利用有限長度 N 的窗函數(shù))(nwN 對 )(nhd 進行截取，截取后的沖激響應函數(shù) )(nh 可表示為： ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd (344) 此時 h(n)為關于21??N?偶對稱的有限因果序列。當 N 為奇數(shù)時，所設計的 FIR 數(shù)字高通濾波器為 I 型濾波器；當 N 為偶數(shù)時，不 II 型濾波器。 而 h(n)表示的濾波器的頻率特性為： ?? ?? ?? ???? ?? deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( (345) )( ?jeH 是否能夠很好地逼近 )( ?jd eH 取決于窗函數(shù)的頻譜特性 )( ?jeW 若將理想濾波器的頻率響應寫成： ?? ? )2 1()()( ??? Njdjd eHeH (346) ? ?2 0 ?? c?? ?2? 1 )(?jeH ? 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 16 頁 共 43 頁 其中幅度頻率特性： ???????????????ccdH ,0,1)( (347) 此時， h(n) 濾波器的頻率特性可表述為； ??????????????????????????????????dWHedeWeeHeHRdNjNjNjjdj)()(2 1)()(2 1)()2 1()2 1)(()2 1( (348) 由此可以得到所 設計的濾波器的幅度頻率特性為： ?? ??? ??? ?????? dWHeHH Rdj )()(2 1)()( (349) 可見，對實際 FIR 濾波器 )(?H 有影響的只是窗函數(shù)的幅度頻率特性 )(?RW 。實際中的 FIR 濾波器的幅度頻率特性，是理想低通濾波器的幅度頻率特性和窗函數(shù)的幅度頻率特性的復卷積。復卷積給 )(?H 帶來過沖和波動，所以加窗函數(shù)后，對濾波器的理想特性的影響有以下幾點： （ 1） )(nHd 在截止頻率的間斷點變那了連續(xù)的曲線，使得 )(?H 出現(xiàn)了一個過渡帶，它的寬度等于窗函數(shù)的主瓣寬度。由此可知，如果窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶就越寬。 （ 2） 由于窗函數(shù)旁瓣的影響，使得濾波器的幅度頻率特性出現(xiàn)了波動，波動的幅度取決于旁瓣打對幅度。旁瓣范圍的面積越大，通帶波動和阻帶的波動就越大，也就是說阻帶衰減減小。而波動的多少，取決于旁瓣的多少。 （ 3） 增加窗函數(shù)的的長度，只能減少窗函數(shù)的幅度頻率特性 )(?W 的主瓣寬度，而不能減少主瓣和旁瓣 的相對值，該值取決于窗函數(shù)的形狀。即增加截取函數(shù)的長度 N 只能相應的減小過渡帶，而不能改變?yōu)V波器的波動程度。 為了滿足工程上的需要，可以通過改變窗函數(shù)的形狀來改善濾波器的幅度頻率特性，而窗函數(shù)的選擇原則是： （ 1） 具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度； （ 2） 旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻帶的衰減； 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 17 頁 共 43 頁 （ 3） 主瓣的寬度要窄，這樣可以得到比較窄的過渡帶。 通常上述的幾點難以同時滿足。當選用主瓣寬度較窄時，雖然能夠得到比較陡峭，但是通帶和阻帶的波動明顯增加；當選用比較小的旁瓣幅度時，雖然能夠得到比較平坦和勻滑的幅度頻率響 應，但是過渡帶將加寬，因此實際中選用的窗函數(shù)往往是它們的折中。在保證主瓣的寬度達到一定要求的條件下，適當犧牲主瓣的寬度來換取旁瓣的波動減小。以上是從幅度頻率特性設計方面對窗函數(shù)提出的要求，實際中設計 FIR 數(shù)字濾波器往往要求是線性相位的，因此要求 )(nw 滿足線性相位的條件，即要求 )(nw 滿足： )1()( nNwnw ??? ；所以，窗函數(shù)不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領域得到應用。 數(shù)字高 通濾波器的窗函數(shù)設計 數(shù)字高通濾波器的設計分為兩種情況討論，即無相移和相移為 2?? 兩種情況 （ 1） 無相移時的數(shù)字高通 FIR 濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH，且無相移的理想高通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： ?????????? ?ccjjd eeH ?? ?????? ,0 ,1)( (350) 式中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。 此時，該理想數(shù)字高通濾波器的單位沖激響應 )(nhd 為： ? ?)()()(s in1121)(21)(???????????????????????????????????? ????????????nnndeedeedeeHnhcnjjnjjnjjddcc (351) 可知， )(nhd 也為無限非因果序列，關于 ? 對稱。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達式為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 18 頁 共 43 頁 ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd ，它關于 21??N? 偶對稱。當 N 為奇數(shù)時，所設計的 FIR 數(shù)字高通濾波器為 I 型濾波器。 （ 2） 存在2??相移時的數(shù)字高通濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH，且相移為2??的理想高通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： ???????????????????????ccjcjjd eeeH???????????????,0,1,1)()2()2( (352) 式中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。 此時，該理想高通濾波器的單位沖激響應 )(nhd 為： ? ?)()()(c os1121)(21)()2()2(????????????????????????????????????????????????????nnndeedeedeeHnhcnjjnjjnjjddcc (353) 可知， )(nhd 也為無限非因果序列，關于 ? 對稱。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達式為 ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd ，它關于 21??N? 奇對稱。當 N 為偶數(shù)時，所設計的 FIR 數(shù)字高通濾波器為 IV 型濾波器。 數(shù)字帶通濾波器的窗函數(shù)設計 數(shù)字帶通濾波器的設計也分為兩種情況討論，即無相移和相移為 2?? 兩種情況 （ 1） 無相移時的數(shù)字帶通 FIR 濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH ，且無相移的理想帶通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 19 頁 共 43 頁 ????? ?? ???? ?chclchcljjd eeH ???? ??????,0,1)( (354) 式中 cl? 表示下截止頻率 (rad)， ch? 表示下截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。 此時，該理想數(shù)字帶通濾波器的單位沖激響應 )(nhd 為： ? ?)()()(s in1121)(21)(???????????????????????????????????? ?????????????nnndeedeedeeHnhclchnjjnjjnjjddchclclch (355) 可知， )(nhd 也為無限非因果序列，關于 ? 對稱。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達式為： ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd ，它關于 21??N? 偶對稱。當 N 為奇數(shù)時，所設計的 FIR 數(shù)字帶通濾波器為 I 型濾波器，當 N為偶數(shù)時，所設計的 FIR 數(shù)字帶通濾波器為 II 型濾波器。 （ 2） 存在 2?? 相移時的數(shù)字帶通濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH，且相移為 2?? 的理想高通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： ????????????????????????chclclchjchcljjd eeeH?????????????????,)2()2(,0,1,1)( (356) 式中 cl? 表示下截止頻率 (rad)， ch? 表示下截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。 此時，該理想數(shù)字帶通濾波器的單位沖激響應 )(nhd 為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 20 頁 共 43 頁 ? ?)()()(c os1121)(21)()2()2(?????????????????????????????????????????????????????nnndeedeedeeHnhclchnjjnjjnjjddchclclch (357) 可知， )(nhd 也為無限非因果序列，關于 ? 對稱。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達