人教a版數(shù)學選修2-1第3章空間向量與立體幾何質(zhì)量評估檢測(編輯修改稿)
2025-01-08 11:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一個法向量． 則??? BP→ n＝ 0，BC→ n＝ 0，即 ??? － 2y＋ 2z＝ 0，3x－ y＝ 0. 令 y＝ 1，則 x＝ 33 ， z＝ 1. 即 n＝ ??? ???33 ， 1， 1 . 易知 m＝ (1,0,0)是平面 PAB的一個法向量． 則 cos〈 m， n〉＝ m n|m||n|＝331 213＝ 77 . ∴ 正切值 tan〈 m， n〉＝ 6. 答案： A 12．已知 OA→＝ (1,2,3)， OB→＝ (2,1,2)， OP→＝ (1,1,2)，點 Q在直線 OP上運動，則當 QA→ QB→取得最小值時，點 Q的坐標為 ( ) A.??? ???12， 34， 13 B.??? ???12， 32， 34 C.??? ???43， 43， 83 D.??? ???43， 43， 73 解析： ∵ Q在 OP上， ∴ 可設(shè) Q(x， x,2x)， 則 QA→＝ (1－ x,2－ x,3－ 2x)， QB→＝ (2－ x,1－ x,2－ 2x)． ∴ QA→ QB→＝ 6x2－ 16x＋ 10， ∴ x＝ 43時， QA→ QB→最小， 這時 Q??? ???43， 43， 83 . 答案： C 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20 分． 13．若 A(x,5－ x,2x－ 1)， B(1， x＋ 2,2－ x)，則當 |AB→|取最小值時， x的值等于 ________． 解析： AB→＝ (1－ x,2x－ 3，－ 3x＋ 3)，則 |AB→|＝ － x 2＋ x－ 2＋ － 3x＋ 2 ＝ 14x2－ 32x＋ 19＝ 14??? ???x－ 87 2＋ 57， 故當 x＝ 87時， |AB→|取最小值． 答案： 87 14．正方體 ABCD－ A1B1C1D1中，直線 BC1與平面 A1BD夾角的正弦值是 ________． 解析： 如圖，以 DA、 DC、 DD1分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系， 設(shè)正方體的棱長為 1，則 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,1)， 易證 AC1→是平面 A1BD的一個法向量． AC1→＝ (－ 1,1,1)， BC1→＝ (－ 1,0,1)． cos〈 AC1→， BC1→〉＝ 1＋ 13 2＝ 63 . 所以 BC1與平面 A1BD夾角的正弦值為 63 . 答案： 63 15．已知 a＝ (2，－ 1,3)， b＝ (－ 1,4，－ 2)， c＝ (7,5， λ )，若 a， b， c共面，則 λ＝ ________. 解析： 由已知可發(fā)現(xiàn) a與 b不共線，由共面向量定理可知， 要使 a， b， c共面，則必存在實數(shù) x， y，使得 c＝ xa＋ yb， 即????? 2x－ y＝ 7－ x＋ 4y＝ 53x－ 2y＝ λ，解得????? x＝ 337y＝ 177λ ＝ 657. 答案： 657 16．如圖，在空間四邊形 ABCD中， AC和 BD為對角線， G為 △ ABC的重心， E是 BD上一點， BE＝ 3ED，以 {AB→， AC→， AD→}為基底，則 GE→＝ ________. 解析： GE→＝ AE→－ AG→＝ AD→＋ DE→－ 23AM→ ＝ AD→＋ 14DB→－ 13(AB→＋ AC→) ＝ AD→＋ 14AB→－ 14AD→－ 13AB→－ 13AC→ ＝－ 112AB→－ 13AC→＋ 34AD→. 答案： － 112AB→－ 13AC→＋ 34AD→ 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證 明過程或演算步驟． 17． (本小題滿分 10 分 )如圖，在直棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， AD∥ BC， ∠ BAD＝ 90176。 ， AC⊥ BD， BC＝ 1， AD＝ AA1＝ 3. (1)證明： AC⊥ B1D； (2)求直線 B1C1與平面 ACD1所成角的正弦值． 解析： (1)易知， AB， AD， AA1兩兩垂直． 如圖，以 A為坐標原點， AB， AD， AA1所在直線分別為 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標系． 設(shè) AB＝ t，則相關(guān)各點的坐標為 A(0
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