【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 B． 有最大值 3， 無(wú)最小值 C． 有最大值 7－ 2 7， 無(wú)最小值 D． 無(wú)最大值 ， 也無(wú)最小值 6． (2021 廣西北海一檢，文 10)已知函數(shù) f(x)＝????? (a－ 3)x＋ 5， x≤ 1，2ax ， x1是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的減函數(shù) ， 那么 a 的取值范圍是 ( ) A． (0,3) B． (0,3] C． (0,2) D． (0,2] 7． 將長(zhǎng)度為 1 的鐵絲分成兩段 ， 分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形 ． 要使正方形和圓的面積之和最小 ， 則正方形的周長(zhǎng)應(yīng)為 __________． 8． 已知 y＝ f(x)在定義域 (－ 1,1)上是減函數(shù) ， 且 f(1－ a)＜ f(3a－ 1)， 則 a 的取值范圍是__________． 9． 已知函數(shù) f(x)＝ kx2－ 4x－ 8 在 [5,20]上是單調(diào)函數(shù) ， 求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 ． 10． 已知函數(shù) f(x)＝ x－ 1x＋ 1， x∈ [1,3]， 求函數(shù)的最大值和最小值 ． 11． 已知 f(x)＝ x3＋ x(x∈ R)， (1)判斷 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的單調(diào)性 ， 并證明 ； (2)求證 ： 滿(mǎn)足 f(x)＝ a(a 為常數(shù) )的實(shí)數(shù) x至多只有一個(gè) ． 答案與解析 1． 3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1． 單調(diào)性與最大 (小 )值 課前預(yù)習(xí) 1． D 由已知， 2k＋ 1＜ 0，解得 k＜－ 12. 2． C 如圖所示，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為 x＝ 3，根據(jù)圖象可知函數(shù)在 (2,4)上是先遞減再遞增的 ． 3． C 由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù) y＝ f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則 x1－ x2與 f(x1)－ f(x2)同號(hào)，由此可知 ，選項(xiàng) A、 B、 D 正確； 對(duì)于 C，若 x1x2時(shí)，可有 x1＝ a 或 x2＝ b，即 f(x1)＝ f(a)或 f(x2)＝ f(b)，故 C 不成立 ． 4． (1)37 ℃ (2)9 (3)3 時(shí) ～ 15 時(shí) (4)23 ℃ ～ 26 ℃ 課堂鞏固 1． C ∵ a＋ b0， ∴ a－ b， b－ ， f(a)f(－ b)， f(b)f(－ a)． 兩式相加得 C 正確 ． 2． A 由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知 4≤ － (a－ 1)，解得 a≤ － 3. 3． A ∵ y＝ x＋ 2x－ 1在定義域 [12，＋ ∞ )上是增函數(shù)， ∴ y≥ f(12)＝ 12，即函數(shù)最小值為 12，無(wú)最大值，選 A. 4． A 該函數(shù)的定義域?yàn)?(－ ∞ ，－ 3]∪ [1，＋ ∞ )，函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x－ 3 的對(duì)稱(chēng)軸為 x＝－ 1，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在區(qū)間 (－ ∞ ，－ 3]上是減函數(shù) ． 5． 減 由條件知 a0， b0， ∴ － b2a，該二次函數(shù)是開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸小于零的二次函數(shù) ． 6．－ 2x＋ 1 由一次函數(shù) f(x)是減函數(shù)，可設(shè) f(x)＝ kx＋ b(k0)． 則 f[f(x)]＝ kf(x)＋ b＝ k(kx＋ b)＋ b＝ k2x＋ kb＋ b， ∵ f[f(x)]＝ 4x－ 1， ∴????? k2＝ 4，kb＋ b＝－ 1， 解得????? k＝－ 2，b＝ 1. ∴ f(x)＝－ 2x＋ 1. 7． 證明： (1)設(shè) 0＜ x1＜ x2＜ 1，則 x2－ x1＞ 0， f(x2)－ f(x1)＝ (x2＋ 1x2)－ (x1＋ 1x1) ＝ (x2－ x1)＋ ( 1x2－ 1x1)＝ (x2－ x1)＋ x1－ x2x2x1 ＝ (x2－ x1)(1－ 1x2x1)＝ (x2－ x1)(x2x1－ 1)x2x1， 若 0＜ x1＜ x2＜ 1，則 x1x2－ 1＜ 0， 故 f(x2)－ f(x1)＜ 0， ∴ f(x2)＜ f(x1)． ∴ f(x)＝ x＋ 1x在 (0,1)上是減函數(shù) ． 8． 解： 設(shè) x1， x2是區(qū)間 [－ 1,2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 x1x2，則 f(x1)－ f(x2)＝ 3x1＋ 2－ 3x2－ 2＝ 3(x1－ x2)． 由 x1x2，得 x1－ x20， 于是 f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)． 所以，函數(shù) f(x)＝ 3x＋ 2 是區(qū)間 [－ 1,2]上的增函數(shù) ． 因此，函數(shù) f(x)＝ 3x＋ 2 在區(qū)間 [－ 1,2]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最小值與最大值，即在 x＝－ 1 時(shí)取得最小值，最小值是－ 1，在 x＝ 2 時(shí)取得最大值，最大值是 8. 課后檢測(cè) 1． D ∵ a2＋ 1－ a＝ (a－ 12)2＋ 340， ∴ a2＋ 1a. 又 ∵ 函數(shù) f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是減函數(shù)， ∴ f(a2＋ 1)f(a)． 2． A 由 f(t)＝ 1t－ t，當(dāng) t∈ (0， 14]時(shí)， f(t)是兩個(gè)減函數(shù)的和，仍是減函數(shù)，故當(dāng) t＝ 14時(shí)，f(t)min＝ f(14)＝ 4－ 14＝ 154 . 當(dāng) m＝ 0 時(shí) ， y＝ x＋ 5 在 [－ 2，＋ ∞ )上是增函數(shù) ， 符合題意 ； 當(dāng) m0 時(shí) ，－ 12m0，顯然不合題意 ； 當(dāng) m0 時(shí) ， 由 － 12m≤ － 2， 得 m≤ 14， 即 0m≤ 14. 綜 上可知 0≤ m≤ 14. 4． B f(x)＝ (x－ 2)2＋ 1，最小值 1 為 x＝ 2 時(shí)取得，最大值 5 為 x＝ 0,4時(shí)取得， ∴ m 的取值為 [2,4]． 5． C 畫(huà)圖得到 F(x)的圖象：為射線 AC、拋物線 AB 及射線 BD 三段，聯(lián)立方程組????? y＝ 2x＋ 3，y＝ x2－ 2x， 得 xA＝ 2－ 7，代入得 F(x)的最大值為 7－ 2 7，由圖可得 F(x)無(wú)最小值，從而選 C. 6． D 由題意可知????? a－ 30，a0，a－ 3＋ 5≥ 2a，解得 0a≤ 2. 7. 4π＋ 4 設(shè)正方形周長(zhǎng)為 x，則圓的周長(zhǎng)為 1－ x，半徑 r＝ 1－ x2π . ∴ S 正 ＝ (x4)2＝ x216， S 圓 ＝ π(1－ x)24π2 . ∴ S 正 ＋ S 圓 ＝ (π＋ 4)x2－ 8x＋ 416π (0x1)． ∴ 當(dāng) x＝ 4π＋ 4時(shí)有最小值 ． 8． (0， 12) 由題意，可得 1＞ 1－ a＞ 3a－ 1＞－ 1，即????? 1＞ 1－ a，1－ a＞ 3a－ 1，3a－ 1＞－ 1.解得 0＜ a＜ 12. 所以 a 的取值范圍是 (0， 12)． 9． 解： 因?yàn)樽宰兞孔罡叽螖?shù)項(xiàng)的系數(shù)含有變量，所以應(yīng)分類(lèi)討論 ． (1)當(dāng) k＝ 0 時(shí)， f(x)＝－ 4x－ 8，它是 [5,20]上的單調(diào)減函數(shù) ． (2)當(dāng) k≠ 0 時(shí)，有下列兩種情形： ① k0 時(shí)， 當(dāng) 2k≥ 20，即 0k≤ 110， f(x)在 [5,20]上是減函數(shù)； 當(dāng) 2k≤ 5，即 k≥ 25時(shí)， f(x)在 [5,20]上是增函數(shù) ． ② k0 時(shí)， 當(dāng) 2k≥ 20 時(shí)，不等式無(wú)解； 當(dāng) 2k≤ 5，即 k0 時(shí)， f(x)在 [5,20]上是減函數(shù) ． 綜上可知，實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 (－ ∞ ， 110]∪ [25，＋ ∞ )． 10． 解： f(x)＝ x－ 1x＋ 1＝ x＋ 1－ 2x＋ 1 ＝ 1－ 2x＋ 1. 設(shè) x1， x2是區(qū)間 [1,3]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 x1x2，則 f(x1)－ f(x2)＝ 1－ 2x1＋ 1－ 1＋ 2x2＋ 1 ＝ 2x2＋ 1－ 2x1＋ 1＝ 2(x1＋ 1)－ 2(x2＋ 1)(x1＋ 1)(x2＋ 1) ＝ 2(x1－ x2)(x1＋ 1)(x2＋ 1). 由 1≤ x1x2≤ 3，得 x1－ x20， (x1＋ 1)(x2＋ 1)0， 于 是 f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)． 所以，函數(shù) f(x)＝ x－ 1x＋ 1是區(qū)間 [1,3]上的增函數(shù) ． 因此，函數(shù) f(x)＝ x－ 1x＋ 1在區(qū)間 [1,3]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即在 x＝ 1時(shí)取得最小值，最小值是 0，在 x＝ 3 時(shí)取得最大值，最大值是 12. 點(diǎn)評(píng)： 若函數(shù)在給定的區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，可利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 ． 若給定的單調(diào)區(qū)間是閉區(qū)間，則函數(shù)的最值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得 ．