【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的情形，如果我們把“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”這樣的情形若能轉(zhuǎn)換到利用奇合數(shù)的情形來(lái)加以分析，也就是任意給定一個(gè)比較大的偶數(shù)2m，通過(guò)順篩和逆篩的辦法，順篩就是篩除掉集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中的全體奇合數(shù)；逆篩就是在集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中再篩除掉偶數(shù)2m分別減去集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中的每一個(gè)奇合數(shù)而得到的全體奇數(shù)；以及篩除掉1和（2m1）。通過(guò)這樣篩除后，如果集合中還剩下有奇數(shù)，那么剩下的奇數(shù)必為奇素?cái)?shù)，并且必定只滿足“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)=2m”的情形。關(guān)鍵詞：哥德巴赫猜想；奇素?cái)?shù)；奇合數(shù)；順篩；逆篩。德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任何一不小于6的偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。歷史上研究“哥德巴赫猜想”的方法及進(jìn)展。(一)比較有名的方法大致有下面四種：（1）篩法，（2）圓法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：篩法是求不超過(guò)自然數(shù)Ｎ（Ｎ＞1）的所有素?cái)?shù)的一種方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，篩法的基本出發(fā)點(diǎn)，即加權(quán)篩法；圓法是三角和（指數(shù)和）估計(jì)方法；密率法（概率法）是函數(shù)估值法。(二)研究的進(jìn)展途徑一：殆素?cái)?shù)，即2m= a1〃a2〃a3〃…〃ai+ b1〃b2〃b3〃…〃bj。殆素?cái)?shù)就是素因子個(gè)數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù)，雖然現(xiàn)在不能證明N是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，但是可以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)殆素?cái)?shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)都不太多，譬如說(shuō)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)10?，F(xiàn)在用“a+b”來(lái)表示如下命題：每個(gè)大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)分別不超過(guò)a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫(xiě)成“1+1”。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的?！癮+b”問(wèn)題的推進(jìn)1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。1924年，德國(guó)的拉特馬赫證明了“7+7”。1932年，英國(guó)的埃斯特曼證明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7”, “4+9”, “3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4+4”。1956年，中國(guó)的王元證明了“3+4”。稍后證明了 “3+3”和“2+3”。1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1962年，中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1+5”，中國(guó)的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1+3 ”。1966年，中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了“1+2 ”。途徑二：例外集合，即尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)。在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，再?gòu)膞往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)。x之前所有例外偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為E(x)。我們希望，無(wú)論x多大，x之前只有一個(gè)例外偶數(shù)，那就是2，即只有2使得猜想是錯(cuò)的。這樣一來(lái)，哥德巴赫猜想就等價(jià)于E(x)永遠(yuǎn)等于1。當(dāng)然，直到現(xiàn)在還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠(yuǎn)比x小。在x前面的偶數(shù)個(gè)數(shù)大概是x/2；如果當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)，E(x)與x的比值趨于零，那就說(shuō)明這些例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對(duì)于幾乎所有的偶數(shù)成立。2 這就是例外集合的思路。維諾格拉多夫的三素?cái)?shù)定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時(shí)出現(xiàn)了四個(gè)證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。途徑三：小變量的三素?cái)?shù)定理，即已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和，假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說(shuō)第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。如果偶數(shù)的哥德巴赫猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確。我們可以把這個(gè)問(wèn)題反過(guò)來(lái)思考。已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和，假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說(shuō)第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。這個(gè)思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時(shí)，研究有一個(gè)小素變數(shù)的三素?cái)?shù)定理。這個(gè)小素變數(shù)不超過(guò)N的θ次方。我們的目標(biāo)是要證明θ可以取0，即這個(gè)小素變數(shù)有界，從而推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來(lái)的很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，這方面的工作一直沒(méi)有進(jìn)展，直到1995年展?jié)淌诎雅死蠋煹亩ɡ硗七M(jìn)到7/120。這個(gè)數(shù)已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0。途徑四：幾乎哥德巴赫問(wèn)題，即2m=p+q+2k。p和q均為奇素?cái)?shù)。1953年，林尼克發(fā)表了一篇長(zhǎng)達(dá)70頁(yè)的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問(wèn)題，證明了，存在一個(gè)固定的非負(fù)整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)與k個(gè)2的方冪之和。這個(gè)定理，看起來(lái)好像丑化了哥德巴赫猜想，實(shí)際上它是非常深刻的。我們注意，能寫(xiě)成k個(gè)2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個(gè)非常稀疏的集合；事實(shí)上，對(duì)任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò) 3 log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數(shù)集合中找到一個(gè)非常稀疏的子集，每次從這個(gè)稀疏子集里面拿一個(gè)元素貼到這兩個(gè)素?cái)?shù)的表達(dá)式中去，這個(gè)表達(dá)式就成立。這里的k用來(lái)衡量幾乎哥德巴赫問(wèn)題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數(shù)值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問(wèn)題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。林尼克1953年的論文并沒(méi)有具體定出k的可容許數(shù)值，此后四十多年間，人們還是不知道一個(gè)多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個(gè)k應(yīng)該很大。其中有個(gè)結(jié)果必須提到，即李紅澤、王天澤獨(dú)立地得到k=2000。目前最好的結(jié)果k=13是英國(guó)數(shù)學(xué)家希思布朗()和德國(guó)數(shù)學(xué)家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個(gè)很大的突破。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)上面四個(gè)途徑的不斷探索求證，仍然沒(méi)有徹底解決哥德巴赫問(wèn)題。現(xiàn)在我們介紹探討求證“哥德巴赫猜想”的另一種新方法，我在前人篩法的基礎(chǔ)上作出了進(jìn)一步的改進(jìn)，定義了“順篩”和“逆篩”這兩個(gè)基本概念。就是任意給定一個(gè)比較大的偶數(shù)2m，通過(guò)順篩和逆篩的辦法來(lái)達(dá)到目的。順篩就是篩除掉集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中的全體奇合數(shù)；逆篩就是在集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中再篩除掉偶數(shù)2m分別減去集合{1，3，5，7，9，?，（2m1）}中的每一個(gè)奇合數(shù)而得到的全體奇數(shù)；如果我們?cè)O(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素?cái)?shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N。對(duì)于“2m=奇數(shù)+奇數(shù)”（m≥3）來(lái)說(shuō)，就只有下面幾種情形：（1）2m=奇合數(shù)+奇合數(shù)，（2）2m=奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)，（3）2m=奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)，（4）2m=1+奇合數(shù)，（5）2m=1+奇素?cái)?shù)。我們的目的就是要篩除掉（1）和（2）以及（4）或（5）情形中的所有奇數(shù)（因?yàn)閷?duì)于偶數(shù)2m，（4）和（5）的情形不可能同時(shí)成立）。但是下面這兩種情形我們不必分析討論： ①偶數(shù)2m=p+p，p為奇素?cái)?shù)；②集合{（2mp1），（2mp2），（2mp3），…，（2mpt）}中至少有一 個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)。假若（2mp2）為奇素?cái)?shù)，那么2m=（2mp2）+p2。所以①和②這兩種情形，偶數(shù)2m已經(jīng)可表為“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”。如果我們能夠明確的判定在任意設(shè)定的集合{1，3，5，7，9，…，（2m1）}中，通過(guò)順篩篩除掉集合{1，3，5，7，9，…，（2m1）}中的全體奇合數(shù)，通過(guò)逆篩篩除掉偶數(shù)2m分別減去集合{1，3，5，7，9，…，（2m1）}中的每一個(gè)奇合數(shù)而得到的全體奇數(shù)；以及篩除掉1和（2m1）。集合{1，3，5，7，9，…，（2m1）}通過(guò)這樣篩除后，如果集合中還剩下有奇數(shù)，那么剩下的奇數(shù)必為奇素?cái)?shù)，并且必定只滿足“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)=2m”的情形。下面我們舉實(shí)例闡述這種解決“哥德巴赫猜想”新的基本思想方法。首先我們回顧一下2000多年前埃拉托斯特尼篩法，埃拉托斯特尼篩法可以用來(lái)尋找一定范圍內(nèi)的素?cái)?shù)（比如說(shuō)m這個(gè)數(shù)，m這個(gè)數(shù) 不是太大）：操作的程序是先將第一個(gè)數(shù)2留下，將它的倍數(shù)全部劃掉；再將剩余數(shù)中最小的3留下，將它的倍數(shù)全部劃掉；繼續(xù)將剩余數(shù)中最小的5留下，將它的倍數(shù)全部劃掉，┅，如此直到?jīng)]有可劃的數(shù)為止。例如在100內(nèi)進(jìn)行這樣的操作，可得素?cái)?shù)2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。我們暫且把前人的這種篩法稱為埃拉托斯特尼順篩，簡(jiǎn)稱順篩。就是通過(guò)順篩，能夠把某個(gè)很大的偶數(shù)M范圍內(nèi)的素?cái)?shù)全部篩出來(lái)，也未必好確定不大于偶數(shù)M的所有偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。順篩實(shí)際上就是篩出偶數(shù)M范圍內(nèi)的所有偶數(shù)（除2外）和所有奇合數(shù)。如果我們?cè)陧樅Y的基礎(chǔ)上，再配合另外一種篩法，我們暫且把這種篩法稱為埃拉托斯特尼逆篩，簡(jiǎn)稱逆篩。逆篩就是篩除掉偶數(shù)2m分別減集合{1，3，5，7，9，…，（2m1）}中的每一個(gè)奇合數(shù)而得到的全體奇數(shù)；對(duì)于偶數(shù)M范圍內(nèi)的所有正整數(shù)，通過(guò)順篩和逆篩配合篩出后，一定能夠判定偶數(shù)M是否可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。我們以偶數(shù)100為例來(lái)闡述，因?yàn)椤案绲掳秃詹孪搿贬槍?duì)的是奇素?cái)?shù)，而奇素?cái)?shù)是從奇數(shù)中分離出來(lái)的概念，所以我們就排出偶數(shù)的情形，只考慮奇數(shù)的情形。對(duì)于偶數(shù)100以內(nèi)的全體奇數(shù)，首先進(jìn)行順篩：（1）篩出3的倍數(shù)，可得集合A1={1，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61，65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97}。（2）在集合A1中篩出5的倍數(shù)，可得集合A2={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，89，91，97}。（3）在集合A2中篩出7的倍數(shù)，可得集合A3={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97}。偶數(shù)100以內(nèi)的全體奇數(shù)，經(jīng)過(guò)順篩后，可以得出下面這樣的結(jié)論：滿足“奇合數(shù)+奇合數(shù)=100”中的全體奇合數(shù)，滿足“奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)=100”中的全體奇合數(shù)，滿足“1+奇合數(shù)=100”中的奇合數(shù)，全部被篩除。又因?yàn)閰^(qū)間[√100，100]以內(nèi)的任一奇合數(shù)均能被奇素?cái)?shù)3，5，7中的某一個(gè)奇素?cái)?shù)整除，這種情形擴(kuò)展開(kāi)來(lái)的一般情形完全可以證明。其次進(jìn)行逆篩：（4）在集合A3中篩出集合{（1009），（10015），（10021），（10027），（10033），（10039），（10045），（10051），（10057），（10063），（10069），（10075），（10081），（10087），（10093），（10099）}={91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 }中的奇數(shù)，可得集合A4={3，5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。（5）在集合A4中篩出集合{（10021），（10035），（10049），（10063），（10077），（10091）}={79，65，51，37，23，9}中的 奇數(shù)，可得集合A5={3，5，11，17，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。（6）因?yàn)?00含有奇素?cái)?shù)因子5，所以奇素?cái)?shù)5要直接篩出。最后得到集合A6={3，11，17，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。所以再經(jīng)過(guò)逆篩后，我們可以得出這樣的結(jié)論：滿足“奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)=100”中的全體奇素?cái)?shù)，滿足“1+奇素?cái)?shù)=100”中的奇素?cái)?shù)，全部被篩除。顯然可得到偶數(shù)100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53。雖然我們前面闡述了利用順篩和逆篩配合篩法的妙處。但是對(duì)于很大很大的偶數(shù)2m，這種配合篩法的技術(shù)難度仍然相當(dāng)大，怎樣克服這個(gè)技術(shù)性難題呢？下面我們?cè)訇U述解決這個(gè)技術(shù)性難題的基本思想方法。我們還是以偶數(shù)100為例來(lái)闡述解決這個(gè)技術(shù)難題巧妙的基本思想方法：對(duì)于偶數(shù)100以內(nèi)的全體奇數(shù)組成的集合A，那么集合A={1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75，77，79