新人教a版高中數學選修4-5用數學歸納法證明不等式測試題(編輯修改稿)
2026-01-05 14:39 本頁面
【文章內容簡介】 nnn xxxxn=13 )1(2 22??n nnx xx且 x10,又由題設可知對任意 n∈ N,有 xn0,故 xn+1xn與 1xn2同號，于是應分 x11與 x11兩種情況討論 . （ 1）若 x11,用數歸納法證明 1xn20. 1176。當 n=1時， 1x120成立 . 2176。假設當 n=k時， 1xk20成立，則當 n=k+1時， 1xk+12=1［13 )3( 22??kkk xxx］ 2=2232)13( )1( ??k kx x0，即當 n=k+1時，有 1xk+120成立 .故對任意 n∈ N,都有 1xn20,∴ 對任意 n∈ N,有 xn+1xn. (2)若 x11，同樣可證，對任意 n∈ N,1xn20,此時有 xn+1（ 1）、（ 2），原問題獲證 . 備選習題 10求證： n≥3時，nnnn )1(1?? 1. 證明：用數學歸納法 .當 n=3時， 64814334 ? 1,命題成立 . 根據歸納假設，當 n=k(k≥3)時，命題成立，即kkkk )1(1?? 1.① 要證明 n=k+1時，命題也成立，即 12)2( )1( ???? kkkk1.② 要用 ① 來證明 ② ，事實上，對不等式 ① 兩邊乘以122)2( )1( ???? kkkk,就湊好了不等式 ② 的左邊 .接下來，只需證明122)]2([ )1( ???? kkkkk1.③ 因為（ k+1） 2k+2=(k2+2k+1)k+1(k2+2k)k+1,這就證明了 ③ 式 . 由 ①②③ 知對于 n≥3,n∈ N,命題成立 . 11 設 0a1,定義 a1=1+a,an+1=na1 +a,求證：對一切自然數 n，有 1an a?11 . 證明：用數學歸納法 .當 n=1時， a11, 又 a1=1+a a?11 ,顯然命題成立 . 假設當 n=k時，命題成立，即 1ak a?11 .① 要證明 n=k+1時，命題也成立，即 1ak+1 a?11 .② 要用 ① 來證明 ② ，事實上，由遞推公式，知 ak+1=ka1 +a(1a)+a=1, 同時， ak+1=ka1 +a1+a= aa??11 2 a?11 ,這就證明了 ② . 12設數列 {an}滿足 a1=2,an+1=an+na1 ,(n=1,2,3,…) (1)證明 an 12 ?n 對一切正整數
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