【文章內(nèi)容簡介】 出一個可解的 MK? 線性方程組。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 9 頁 然而，判斷給定的 CSA 是否具有 RIP性質(zhì)是一個組合復(fù)雜度問題。 為了降低問題的復(fù)雜度，能否找到一種易于實(shí)現(xiàn) RIP條件的替代方法成為構(gòu)造觀測矩陣的關(guān)鍵。 文獻(xiàn) [8]指出如果保證觀測矩陣 ? 和稀疏基 ? 不相干，則 CSA 在很大概率上滿足RIP性質(zhì)。不相干是指向量 ??j?不能用 ? ?i? 稀疏表示。不相干性越強(qiáng)，互相表示時(shí)所需的系數(shù)越多；反之，相 關(guān)性則越強(qiáng)。通過選擇高斯隨機(jī)矩陣 ? 作為觀測矩陣即可高概率保證不相干性和 RIP性質(zhì)。例如，可以生成多個零均值、方差為 1/N 的隨機(jī)高斯函數(shù)，將它們作為觀測矩陣 ? 的元素 j? ，使得 CSA 以很高的概率具有 RIP性質(zhì)。隨機(jī)高斯矩陣具有一個有用的性質(zhì)：對于一個 MN? 的隨機(jī)高斯矩陣 ? ，可以證明當(dāng) M≥ cKlog(N／ K)時(shí) T CSA?? ? 在很大概率下具有 RIP性質(zhì) (其中 c是一個很小的常數(shù) )。因此可以從 M 個觀測值 12( , , y )MY y y? … ， 中以很高的概率去恢復(fù)長度為 N 的 K 項(xiàng)稀疏信號。總之，隨機(jī)高斯矩陣與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，這一特性決定了選它作為觀測矩陣，其它正交基作為稀疏變換基時(shí)， CSA 滿足 RIP性質(zhì)。為進(jìn)一步簡化觀測矩陣 ? ，在某些條件下，以隨機(jī) 1? 為元素構(gòu)成的 Rademacher矩陣也可以證明具有 RIP性質(zhì)和普適性。 對觀測矩陣的研究是壓縮感知理論的一個重要方面。 Donoho給出了觀測矩陣所必需具備的三 個條件 [9]，并指出大部分一致分布的隨機(jī)矩陣都具備這三個條件，均可作為觀測矩陣，如：部分 Fourier集、部分 Hadamard集、一致分布的隨機(jī)投影 (uniform Random Projection)集等，這與對 RIP性質(zhì)進(jìn)行研究得出的結(jié)論相一致。但是，使用上述各種觀測矩陣進(jìn)行觀測后，都僅僅能保證以很高的概率去恢復(fù)信號，而不能保證百分之百地精確重構(gòu)信號。對于任何穩(wěn)定的重構(gòu)算法是否存在一個真實(shí)的確定性的觀測矩陣仍是一個有待研究的問題。 信號重構(gòu) 如何設(shè)計(jì)快速重構(gòu)算法，從線性觀測 CSY A X? 中恢復(fù)信號，是第三步要將解決的問題，即信號的重構(gòu)問題。 在壓縮感知理論中，由于觀測數(shù)量 M 遠(yuǎn)小于信號長度 N ，因此不得不面對求解欠定方程組 CSY A X? 的問題。表面上看，求解欠定方程組似乎是無望的，但是，文獻(xiàn) [10]和 [11]均指出由于信號 X 是稀疏的或可壓縮的，這個前提從根本上改變了 問題，使得問題可解，而觀測矩陣具有 RIP性質(zhì)也為從 M 個觀測值中精確恢復(fù)信號提供了理西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 10 頁 論保證。為更清晰地描述壓縮感知理論的信號重構(gòu)問題，首先定義向量? ?12, nX x x? … ， x的 p? 范數(shù)為： 1 /p1N piP iXx???? ????? (式 ) 當(dāng) 0p? 時(shí)得到 0? 范數(shù)，它實(shí)際上表示 X 中非零項(xiàng)的個數(shù)。 于是，在信號 X 稀疏或可壓縮的前提下，求解欠定方程組 CSY A X? 的問題轉(zhuǎn)化為最小 0? 范數(shù)問題： 0min T X? . CS TA X X Y? ?? ? (式 ) 但是，它需要列出 M 中所有非零項(xiàng)位置的 KNC 種可能的線性組合，才能得到最優(yōu)解。因此，求解式（ )的數(shù)值計(jì)算極不穩(wěn)定而且是 NP難問題。注意，這和稀疏分解問題從數(shù)學(xué)意義上講是同樣的問題。于是稀疏分解的已有算法可以應(yīng)用到 CS重構(gòu)中。 Chen， Donoho和 Saunders指出，求解一個更加簡單的 1l 優(yōu)化問題會產(chǎn)生同等的解(要求 ?和 ? 不相關(guān) )： 1min TX? . CS TA X X Y? ?? ? (式 ) 稍微的差別使得問題變成了一個凸優(yōu)化問題，于是可以方便地化簡為線性規(guī)劃問題，典型算法代表： BP算法．盡管 BP算法可行，但在實(shí)際應(yīng)用中存在兩個問題：第一，即使是常見的圖像尺寸， BP算法的計(jì)算復(fù)雜度也難以忍受，在采樣點(diǎn)個數(shù)滿足 M cK? ， ? ?2log / 1c N K??時(shí)，重構(gòu)計(jì)算復(fù)雜度的量級在 3()ON ；第二，由于 1?范數(shù)無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置，所以盡管整體上重構(gòu)信號在歐氏距離上逼近原信號，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)一些人工效應(yīng)，如一維信號會在高頻出現(xiàn)振蕩。 基于上述問題， 20xx年 1月 Candes和 Romberg提出了不同的信號恢復(fù)方法，該方法要求對原信號具有少量的先驗(yàn)知識，同時(shí) 也可以對所求結(jié)果施加適當(dāng)?shù)钠谕匦?，以約束重構(gòu)信號的特性。通過在凸集上交替投影的方法，可以快速求解線性規(guī)劃問題。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 11 頁 Tropp和 Gilbert提出利用匹配追蹤 (MP)和正交匹配追蹤 (OMP)算法來求解優(yōu)化問題重構(gòu)信號，大大提高了計(jì)算的速度，且易于實(shí)現(xiàn)。樹形匹配追蹤 (TMP)算法是 20xx年 La和 NDo提出的。該方法針對 BP、 MP和 OMP方法沒有考慮信號的多尺度分解時(shí)稀疏信號在各子帶位置的關(guān)系，是將稀疏系數(shù)的樹型結(jié)構(gòu)加以利用，進(jìn)一步提升了重構(gòu)信號的精度和求解的速度。匹配追蹤類算法都是基于貪婪迭代算法，以多于 BP算法需要的采樣數(shù)目換取計(jì)算復(fù)雜度的降低。例如 OMP算法，需要 M cK? ， 2ln( )cN?個采樣點(diǎn)數(shù)才能以較高的概率恢復(fù)信號，信號重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度為 2()ONK 。 20xx年 Donoho等人提出了分段正交匹配追蹤 (STOMP， Stagewise OMP)算法。它將 OMP進(jìn)行一定程度的簡化，以逼近精度為代價(jià)進(jìn)一步提高了計(jì)算速度 (計(jì)算復(fù)雜度為 O(N))，更加適合于求解大規(guī)模問題。 匹配追蹤類方 法為其近似求解提供了有力工具，且該類方法用于稀疏信號重建時(shí)具有一定的穩(wěn)定性。文獻(xiàn) [12]中提出的 OMP算法延續(xù)了匹配追蹤算法中原子的選擇準(zhǔn)則，但是實(shí)現(xiàn)了遞歸地對已選原子集合進(jìn)行正交化以保證迭代的最優(yōu)性，從而減少了迭代次數(shù)。此后， Needell和 Vershynin等人在 OMP算法的基礎(chǔ)上將正則化過程用于稀疏度 K 已知的 OMP算法中，提出了 ROMP算法。 ROMP算法與 OMP算法的不同之處在于，該算法首先根據(jù)相關(guān)原子挑選多個原子作為候選集，然后從候選集中按照正則化 原則挑選出部分原子，最后將其并入最終的支撐集，從而實(shí)現(xiàn)了原子的快速、有效選擇。最近出現(xiàn)的子空間匹配追蹤算法 (Subspace Pursuit， SP)和壓縮采樣匹配追蹤算法 (Compressive Sampling Matching Pursuit， CoSaMP)引入了回退篩選的思想，這些算法的重建質(zhì)量與線性規(guī)劃方法相當(dāng)，同時(shí)重建復(fù)雜度低，但是這些算法都是建立在稀疏度 K 已知的基礎(chǔ)上。然而實(shí)際應(yīng)用中信號的稀疏度 K 往往是未知的，由此出現(xiàn)了對稀疏度 K 自適應(yīng)的稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法 (Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)，它通過設(shè)置一個可變步長，逐步對信號稀疏度進(jìn)行估計(jì)，因此可以在 K未知的情況下獲得較好的重建效果，速度也遠(yuǎn)快于 OMP算法?；?ROMP算法和 SAMP算法的突出優(yōu)勢。 這里主要介紹 CS 理論在成像系統(tǒng)、圖像融合、圖像跟蹤以及數(shù)據(jù)獲取等方面的應(yīng)用。 （ 1）成像系統(tǒng) 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 12 頁 在成像方面， CS 理論的出現(xiàn)激 起了人們研究新型傳感器的熱情， CS 采樣對昂貴的成像器件的設(shè)計(jì)產(chǎn)生了重大影響。在地震勘探和核磁共振成像中，對于目標(biāo)信號，將有望采用少量的隨機(jī)觀測次數(shù)就能獲得高精度重構(gòu)，取代傳統(tǒng)數(shù)碼相機(jī)拍照時(shí)采集大量像素的一種新型單像素 CS 相機(jī)已經(jīng)得到論證。相對于 CS 的理論研究進(jìn)展， 美國 Rice 大學(xué)也已經(jīng)研制出單像素相機(jī)，如下圖 所示。該相機(jī)具有一種全新的相機(jī)結(jié)構(gòu)，使用數(shù)字微鏡陣列完成圖像在偽隨機(jī)二值模型上線性投影的光學(xué)計(jì)算。它可利用單一的信號光子檢測器采樣得到比圖像像素點(diǎn)數(shù)少得多的點(diǎn)恢復(fù)圖像，并具有對圖像波長自適應(yīng)的能 力，這種自適應(yīng)能力是傳統(tǒng)的 CCD 和 CMOS 成像器件所不具備的。 ARIZONA 大學(xué) Baheti和 Neifeld 設(shè)計(jì)了具有特定功能的結(jié)構(gòu)成像設(shè)備， DUCK 大學(xué)研制了單景光譜成像裝置。然而由于壓縮重構(gòu)算法的計(jì)算量比較大，難以達(dá)到實(shí)時(shí)性要求，因此實(shí)時(shí)高性能壓縮感知成像系統(tǒng)是未來重要的研究方向。 圖 單像素相機(jī) （ 2）圖像融合 圖像融合是信息融合范疇內(nèi)以圖像為對象的研究領(lǐng)域。圖像融合將多個成像傳感器或同一成像傳感器在不同模式下獲取的同一場景的圖像信息加以綜合，獲取更為精確、全面、可靠的圖像描述。圖像融合技術(shù) 在自動目標(biāo)識別、計(jì)算機(jī)視覺、遙感、機(jī)器人、自動小車、復(fù)雜智能制造系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像處理以及軍事應(yīng)用等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用潛力 [13]。 將不同模式下的融合圖像采用 CS 理論進(jìn)行稀疏表示，如下圖 所示。使其在測量舉證的作用下，用遠(yuǎn)小于原圖像的數(shù)據(jù)量進(jìn)行計(jì)算得到融合結(jié)果還原為圖像表示，可節(jié)省中間融合所需的計(jì)算量，并且能夠更好地利用原圖像中像素間的內(nèi)在聯(lián)系，是一個非常值得研究的課題。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 13 頁 圖 CS 用于圖像融合的流程框圖 （ 3）目標(biāo)跟蹤 視頻目標(biāo)跟蹤是使用可見、紅外等被動式成像傳感器實(shí)現(xiàn)目標(biāo)測量的核心技術(shù)之一，是 目標(biāo)識別、視頻圖像的壓縮編碼等高層次的視頻處理和應(yīng)用理解的基礎(chǔ)，也是視頻監(jiān)控技術(shù)自動化和實(shí)時(shí)應(yīng)用的關(guān)鍵。目標(biāo)跟蹤的實(shí)質(zhì)是通過對圖像傳感器拍攝到的視頻序列進(jìn)行分析，計(jì)算出目標(biāo)在每幀圖像中的位置、大小和運(yùn)動速度。 CS 理論自從被 （美國科學(xué)學(xué)院院士） ( 創(chuàng)始人 )及 (華裔科學(xué)家， 20xx 年菲爾茨獲獎得主， 20xx 年被評為世界上最聰明的科學(xué)家 )等人提出后，在信息論、信號 /圖像處理、醫(yī)療成像、模式識別、地質(zhì)勘探、光學(xué) /雷達(dá)成像、無線通信等領(lǐng)域受到 高度關(guān)注，并被美國科技評論為 20xx 年度 10 大科技進(jìn)展之一 [14]。 基于 CS 理論的目標(biāo)跟蹤。首先對目標(biāo)進(jìn)行建模，而后對后續(xù)幀圖像進(jìn)行相應(yīng)的模型建立，將求取兩模型最相似的問題轉(zhuǎn)化為求取某相似參數(shù)的 L1 范數(shù)最小化問題，對高維數(shù)據(jù)的特征信息處理有明顯優(yōu)勢，但是計(jì)算量大，復(fù)雜度高，是否對所有目標(biāo)都具有魯棒的跟蹤效果有待于在目標(biāo)跟蹤方面做進(jìn)一步研究。 （ 4）數(shù)據(jù)獲取 在某些重要的情況下，完全采集模擬信號的 N個離散時(shí)間樣本是困難的，而且也難以對其進(jìn)行壓縮。而運(yùn)用壓縮感知，可以設(shè)計(jì)物理采樣裝置，直接記錄模擬信號離散、低 碼率、不相關(guān)的測量值，有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取?；?RIP理論，目前已研制出了一些設(shè)備，有萊斯大學(xué)研制的單像素相機(jī)和 A/I轉(zhuǎn)換器，麻省理工學(xué)院研制的編碼孔徑相機(jī)，耶魯大學(xué)研制的超譜成像儀，麻省理工學(xué)院研制的 MRI RF脈沖設(shè)備，伊利諾伊州立大學(xué)研制的 DNA微陣列傳感器。 壓縮感知有待研究的幾個問題 壓縮感知經(jīng)過近年來的迅猛發(fā)展，已基本形成了自己的理論框架，包括基礎(chǔ)理論、實(shí)現(xiàn)方法和實(shí)際應(yīng)用。但是，壓縮感知理論還有很多亟待解決的問題，為此本西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 14 頁 文列出了壓縮感知有待解決的幾個關(guān)鍵問題。 ? 基礎(chǔ)理論層面： （ 1） 基于非 正交稀疏字典的壓縮感知信號重建理論。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動的可壓縮信號壓縮感知定理中，關(guān)于稀疏字典 ? 和測量矩陣 ? 僅要求兩者乘積???? 滿足 RIP。但是，測量矩陣設(shè)計(jì)部分關(guān)于壓縮測量個數(shù) M的界定還額外附加了假設(shè)條件，即稀疏字典 ? 是正交基。當(dāng)測量矩陣 ? 依然通過三種方式生成，但是稀疏字典 ? 不再正交時(shí)， ???? 是否滿足 RIP？ 壓縮測量個數(shù) M的下限是否不變？由于過完備的稀疏字典才能保證表示系數(shù)具有足夠的稀疏性或衰減性，進(jìn)而能夠在減少壓縮測量的同時(shí)保證壓縮感知的重建精度，所以需要設(shè)計(jì)魯棒的測量矩陣 ? 使之與過完備稀疏字典依然滿足 RIP，同時(shí)需要重新估計(jì)壓縮測量個數(shù) M的下限，這時(shí)所需的壓縮測量定會減少。 （ 2） 自然圖像的自適應(yīng)壓縮感知信號重建理論。雖然基于線性投影的壓縮感知理論能夠直接應(yīng)用于自 然圖像這樣的復(fù)雜高維信號，但是由于沒有考慮到自然圖像的固有特性，諸如結(jié)構(gòu)多成分性、高階統(tǒng)計(jì)性等 ,對于自然圖像壓縮采樣本身沒有特殊的指導(dǎo)作用。事實(shí)上，相對于一維離散信號 ,自然圖像的復(fù)雜性和高維性使之需要自適應(yīng)的壓縮采樣和重建算法。 例如，基于圖像多成分性的特點(diǎn)能夠提高重建圖像的峰值信噪比和視覺效果。壓縮感知理論的大部分文獻(xiàn)中，測量矩陣 ? 都是線性的且設(shè)計(jì)好的 ， 不需根據(jù)觀測信號自適應(yīng)地變化。對于自然圖像，假如能夠?qū)崿F(xiàn)非線性自適應(yīng)的壓縮測 量，壓縮感知的壓縮性能勢必會獲得大 幅度的提高。目前，自然圖像的自適應(yīng)壓縮感知信號重建理論基本空白。這項(xiàng)工作對壓縮感知的理論推廣和實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義。 ? 實(shí)現(xiàn)方法層面： （ 1） 基于學(xué)習(xí)的自然圖像過完備字典設(shè)計(jì)。目前，基于構(gòu)造方法的自然圖像過完備字典設(shè)計(jì)具有很好的理論支撐，正則化幾何方法、幾何多尺度分析、基于信息論的 “有效編碼假設(shè) ”為其奠定了堅(jiān)實(shí)廣闊的理論基礎(chǔ)。但是，從國際上關(guān)于過完備字典設(shè)計(jì)的整體情況看，基于學(xué)習(xí)的自然圖像過完備字典設(shè)計(jì)的工作非常少，