【正文】 里 (即感知矩陣 )選擇與信號最匹配的原子來進(jìn)行稀疏逼近并求出余量，然后繼續(xù)選出與信號余量最為匹配的原子。 ? 實(shí)現(xiàn)方法層面： （ 1） 基于學(xué)習(xí)的自然圖像過完備字典設(shè)計(jì)。而運(yùn)用壓縮感知，可以設(shè)計(jì)物理采樣裝置，直接記錄模擬信號離散、低 碼率、不相關(guān)的測量值，有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取。相對于 CS 的理論研究進(jìn)展， 美國 Rice 大學(xué)也已經(jīng)研制出單像素相機(jī)，如下圖 所示。樹形匹配追蹤 (TMP)算法是 20xx年 La和 NDo提出的。 對觀測矩陣的研究是壓縮感知理論的一個重要方面。此時，只要設(shè)法確定出 ?中的 K 個非零系數(shù) i? 的合適位置 ，由于觀測向量 Y 是這些非零系數(shù) i? 對應(yīng)的 K 個列向量的線性組合，從而可以形成一個 MK? 的線性方程組來求解這些非零項(xiàng)的具體值。字典的選擇應(yīng)盡可能的符合被逼近信號的結(jié)構(gòu)，其構(gòu)成可以沒有任何限制。 由 Candes、 Romberg、 Tao和 Donoho等人在 20xx年提出的壓縮感知理論表明，可以在不丟失逼 近原信號所需信息的情況下，用最少的觀測次數(shù)來采樣信號，實(shí)現(xiàn)信號的降維處理，即直接對信號進(jìn)行較少采樣得到信號的壓縮表示，且不經(jīng)過進(jìn)行 N 次采樣的中間階段，從而在節(jié)約采樣和傳輸成本的情況下，達(dá)到了在采樣的同時進(jìn)行壓縮的目的 [4]。解碼所需測量值的數(shù)目遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)理論下的樣本數(shù)。 本論文的結(jié)構(gòu)安排 本文在對壓縮感知理論以及現(xiàn)有的重構(gòu)算法進(jìn)行系統(tǒng)的研究之后，圍繞正交匹配追蹤重建算法展開研究來實(shí)現(xiàn)信號的重建，基于上述工作，本文內(nèi)容分為四章，具體結(jié)構(gòu) 安排如下： 第一章：緒論。但是隨著各種信號處理系統(tǒng)獲取能力的不斷增強(qiáng)，需要后期處理的數(shù)據(jù)量也快速增加，奈奎斯特定理的局限性給系統(tǒng)的處理能力提出了更高的要求，同時也給相應(yīng)的硬件設(shè)施的設(shè)計(jì)帶來了極大的挑戰(zhàn)。該理論突破了傳統(tǒng)的以 Nyquist 定理為基準(zhǔn)的信號處理方法，實(shí)現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，克服了采樣數(shù)據(jù)量大，采樣時間長及數(shù)據(jù)存儲空間浪費(fèi)嚴(yán)重的問題，因此進(jìn)一步降低了信號處理的時間和器件成本。在隨后的幾年間該理論迅速發(fā)展，為解決上述問題奠定了基礎(chǔ)。這一章著重分析了正交匹配追蹤算法的原理、實(shí)現(xiàn)步驟和 Matlab 的語言實(shí)現(xiàn)。即這些信號是“稀疏”的或“可壓縮”的。 圖 基于 壓縮感知理論 的信號重構(gòu)過程 信號的稀疏表示 壓縮感知的第一步，即對于信號 X ∈ NR ，如何找到某個正交基或緊框架 ? ，使其在 ? 上的表示是稀疏的，即信號的稀疏表示問題。在稀疏分解算法的設(shè)計(jì)方面，基于貪婪迭代思想的 MP(Matching Pursuit)算法表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，但不是全局最優(yōu)解。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 9 頁 然而，判斷給定的 CSA 是否具有 RIP性質(zhì)是一個組合復(fù)雜度問題。 在壓縮感知理論中，由于觀測數(shù)量 M 遠(yuǎn)小于信號長度 N ，因此不得不面對求解欠定方程組 CSY A X? 的問題。它將 OMP進(jìn)行一定程度的簡化，以逼近精度為代價(jià)進(jìn)一步提高了計(jì)算速度 (計(jì)算復(fù)雜度為 O(N))，更加適合于求解大規(guī)模問題。 圖 單像素相機(jī) （ 2）圖像融合 圖像融合是信息融合范疇內(nèi)以圖像為對象的研究領(lǐng)域。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動的可壓縮信號壓縮感知定理中，關(guān)于稀疏字典 ? 和測量矩陣 ? 僅要求兩者乘積???? 滿足 RIP。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動的可壓縮信號壓縮感知定理中 ， 要求稀疏字典 Ψ和測量矩陣 Φ的乘積 Θ=ΦΨ滿足 RIP。 本節(jié)將著重介紹此算法的原理、實(shí)現(xiàn)步驟以及 Matlab 的語言實(shí)現(xiàn)。為了進(jìn)一步說明 OMP 算法的重構(gòu)效果，本文將用二維圖像繼續(xù)進(jìn)行仿真。 恢復(fù)的圖像，采樣率 = 恢復(fù)的圖像 ,采樣率 = 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 25 頁 首先先選擇一張圖片，本文采用的圖片如圖 所示： 原始圖像 圖 原始圖像 選擇好原始圖片后，我們要對圖片進(jìn)行讀取數(shù)據(jù) x=imread(39。尋求有效的重構(gòu)方法也是研究者一直在進(jìn)行的工作。值此本科學(xué)位論文完成之際 ， 謹(jǐn)向我的論文指導(dǎo) 老師 致以最誠摯的謝意！ 感謝她 在忙碌的教學(xué)工作中擠出時間來審查、修改我的論文。 % 信號頻率 3 f4=400。 % 采樣頻率 ts=1/fs。 % 最大投影系數(shù)對應(yīng)的位置 Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]。) % 原始信號 legend(39。)。 % 增量矩陣 (初始值為空矩陣 ) r_n=s。 % 信號長度 M=64。clear %% K=7。 4）該理論只針對可壓縮或者稀疏的信號才有效果，但是大多數(shù)自然信號不具有稀疏性，由正交變換性質(zhì)可知，我們首先需要對信號進(jìn)行正交變換，然后才能對信號進(jìn)行下一步的處理。 （ 3） OMP 算法能夠兼顧重構(gòu)時間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實(shí)用的重建算法。 基追蹤算法 (BP),在壓縮感知理論中，觀測數(shù)遠(yuǎn)小于信號長度，因此信號重構(gòu)時不得不面對求解欠定方程組的問題。 首先，我們選取一組一維的正弦信號，即1 1 1 10 . 3 s in ( 2 * * ) 0 . 6 s in ( 2 * * ) 0 . 1 s in ( 2 * * ) 0 . 9 s in ( 2 * * )1 6 8 4 2s s s sx T T T T? ? ? ? ? ? ? ?。 匹配追蹤類稀疏重建算法解決的是最小 L0范數(shù)問題，最早提出的有匹配追蹤 (MP)算法和正交匹配追蹤 (OMP)算法。這項(xiàng)工作對壓縮感知的理論推廣和實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義。 （ 4）數(shù)據(jù)獲取 在某些重要的情況下，完全采集模擬信號的 N個離散時間樣本是困難的，而且也難以對其進(jìn)行壓縮。在地震勘探和核磁共振成像中，對于目標(biāo)信號，將有望采用少量的隨機(jī)觀測次數(shù)就能獲得高精度重構(gòu)，取代傳統(tǒng)數(shù)碼相機(jī)拍照時采集大量像素的一種新型單像素 CS 相機(jī)已經(jīng)得到論證。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 11 頁 Tropp和 Gilbert提出利用匹配追蹤 (MP)和正交匹配追蹤 (OMP)算法來求解優(yōu)化問題重構(gòu)信號，大大提高了計(jì)算的速度，且易于實(shí)現(xiàn)。為進(jìn)一步簡化觀測矩陣 ? ，在某些條件下，以隨機(jī) 1? 為元素構(gòu)成的 Rademacher矩陣也可以證明具有 RIP性質(zhì)和普適性。然而，如果 ?具有 K 項(xiàng)稀疏性 (KM?? )，則該問題有望求出確定解。用超完備的冗余函數(shù)庫取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子。在數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)中，采樣速率高但信號是可壓縮的，采樣得到 N 點(diǎn)采樣信號 X ；通過 TX??? 變換后計(jì)算出完整的變換系數(shù)集合 ??i? ；確定 K 個大系數(shù)的位置，然后扔掉 NK? 個小系數(shù)；對 K 個大系數(shù)的值和位置進(jìn)行編碼，從而達(dá)到壓縮的目的。解碼過程不是編碼的簡單逆過程，而是在盲源分離中的求逆思想下利用信號稀疏分解中 已 有 的重構(gòu)方法在概率意義上實(shí)現(xiàn)信號的精確重構(gòu)或者一定誤差下的近似重構(gòu)。國家自然科學(xué)基金委也自 20xx 年起資助了多項(xiàng)壓縮感知方法的研究，涉及認(rèn)知無線電、雷達(dá)成像、信號稀疏表示、多媒體編碼、人臉識別等領(lǐng)域。為了不丟失信號的信息，精確重構(gòu)信號，在獲取信號時，采樣頻率要大于信號中最高頻率的兩倍。 壓縮感知理論有三個核心方面：（ 1）稀疏變換，即對一個非稀疏的信號，找到一個合適的 正交基使該信號在它上可以稀疏表示；（ 2）測量矩陣，與變換基不相干且平穩(wěn)的矩陣；（ 3）重構(gòu)算法，利用數(shù)學(xué)算法完成對信號的精確重構(gòu)，該過程可看為求解一個優(yōu)化問題。與傳統(tǒng)信號處理方式不同，壓縮感知理論以空間變換為基礎(chǔ)，隨機(jī)觀測矩陣 作為手段，優(yōu)化求解作為恢復(fù)信號的方法。 第四章：基于 MATLAB 的壓縮感知圖像重建仿真。由于這一特性， 壓縮感知理論的信號編解碼框架和傳統(tǒng)的壓縮過程大不一樣， 主要包括信號的稀疏表示、編碼測量和重構(gòu)算法等三個方面 。 所謂的稀疏，就是指信號 X 在正交基下的變換系數(shù)向量為 TX??? ，假如對于02p??和 0R? ，這些系數(shù)滿足： 1/ PPiP i R???? ? ?????? (式 ) 則說明系數(shù)向量 ? 在某種意義下是稀疏的。 Donoho等人之后提出了基追蹤 (basis pursuit，BP)算法。 為了降低問題的復(fù)雜度，能否找到一種易于實(shí)現(xiàn) RIP條件的替代方法成為構(gòu)造觀測矩陣的關(guān)鍵。表面上看，求解欠定方程組似乎是無望的，但是，文獻(xiàn) [10]和 [11]均指出由于信號 X 是稀疏的或可壓縮的，這個前提從根本上改變了 問題，使得問題可解，而觀測矩陣具有 RIP性質(zhì)也為從 M 個觀測值中精確恢復(fù)信號提供了理西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 10 頁 論保證。 匹配追蹤類方 法為其近似求解提供了有力工具，且該類方法用于稀疏信號重建時具有一定的穩(wěn)定性。圖像融合將多個成像傳感器或同一成像傳感器在不同模式下獲取的同一場景的圖像信息加以綜合，獲取更為精確、全面、可靠的圖像描述。但是，測量矩陣設(shè)計(jì)部分關(guān)于壓縮測量個數(shù) M的界定還額外附加了假設(shè)條件，即稀疏字典 ? 是正交基。其中，稀疏字典西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 15 頁 Ψ可以是正交的也可以是非正交的，測量矩陣 Φ可以是隨機(jī)的也可以是確定的。 OMP 算法原理 OMP算法實(shí)質(zhì)上還是沿用了匹配追蹤算法中的原子選擇準(zhǔn)則，只是將所選原子利用 GramSchmidt正交化方法進(jìn)行正交處理，再 將信號在這些正交原子構(gòu)成的空間上投影，得到信號在各個已選原子上的分量和余量，然后用相同方法分解余量。 二維信號在不同采樣率下的 OMP 仿真 由第三章 OMP 算法的 Matlab 語言實(shí)現(xiàn)知識可知，在處理圖像時，我們需將圖像進(jìn)行變換，如 FFT、 DCT、小波變換等，通過變換將圖像轉(zhuǎn)換成對應(yīng)基下的稀疏系數(shù)，然后對系數(shù)矩陣按列進(jìn)行處理，最后將處理過的系數(shù)反變換回來，就能得到稀疏重構(gòu)的圖像。39。 本文深入了解了壓縮感知理論及國內(nèi)外現(xiàn)有的重建算法之后，著重對其中的正交匹配追蹤重建算法展開了工作，主要工作總結(jié)如下： 在總結(jié)現(xiàn)有的幾種算法及模型如最小 L0 范數(shù)模型 ， OMP 算法， MP 算法的基礎(chǔ)之上，分別從一維信號和二維可壓縮信號的角度考察 OMP 算法的重建效果及運(yùn)行時間。本文的寫作 是在她 的悉心指點(diǎn)下 ，從論文的選題到體系的安排，從觀點(diǎn)推敲到字句斟酌， 都 凝聚著 她 的心血。 % 信號頻率 4 fs=800。 % 采樣間隔 Ts=1:N。 % 矩陣擴(kuò)充 T(:,pos)=zeros(M,1)。Recovery39。*hat_y.39。 % 待重構(gòu)的譜域 (變換域 )向量 Aug_t=[]。 % 稀疏度 (做 FFT 可以看出來 ) N=256。西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 29 頁 參考文獻(xiàn) [1]李樹濤 ,魏丹 .壓縮傳感綜述 .自動化學(xué)報(bào) ,20xx,35(11):13691377. 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