【文章內容簡介】 (ejw)|e )(??j 其中， |H(ejw)|稱為幅頻特性函數(shù)， ? （ w）稱為相頻特性 函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般來說，對于 IIR 濾波器，相頻特性不做要求，而對于有線相位要求的濾波器，一般采用 FIR 濾波器來實現(xiàn)。 圖 31 低通濾波器的幅值特性 圖 31為低通濾波器的幅值特性， p? 和 s? 分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為 p????0 ,在通帶中要求 11 1 ??? s?? ，阻帶頻率范圍為 ??? ??s ，在阻帶中要求2)( ?? ?jeH，從 p? 至 s? 稱為過渡帶。通帶內所允許的最大衰減（ dB） 和阻帶內所允許的最小衰減 (dB)分別為 p? 和 s? ，分別定義為： dBeH pjp )(lg20 ?? ?? dBeH sjs )(lg20 ?? ?? 一般要求： 當p???? ||0時，pj peH ?? ?? )(lg20 當 ??? ?? ||s 時， sj seH ?? ?? )(lg20 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 12 IIR 數(shù)字濾波器的典型方法設計 利用模擬濾波器設計 IIR 數(shù)字濾波器的設計步驟如下： （ 1）將給定的而數(shù)字濾波器的性能指標，按某一變換（映射）規(guī)則轉換成響應的模擬濾波器的性能指標。 （ 2）如果要設計的不是數(shù)字低通濾波器，則還需將步驟（ 1）中變換所得到的相應的（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標變換成模擬濾波器的性能指標，這是因為只有模擬低通濾波器才有圖形和表格可以利用。 （ 3）用所得到得模擬低通濾波器的性能指標，利用某種模擬濾波器的逼近方法，設計查表求得此模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，以它作為設計數(shù)字濾波器的“樣本”。 （ 4）利用（ 1）、（ 2）中的同一變換規(guī)則，將此作為“樣本”的模擬原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，最終變換成所需的而數(shù)字各型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH 。 其實，利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，就是要把 s平面映射到 z 平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH ，這種由復變量s 到復變量 z 之間的的映射（變換）關系，必須滿足兩條基本要求： 1） ??zH 的頻率響應要能模仿 ??sHa 的頻率響應，即 s平面的虛軸 ?j 必須映射到 z平面的單位圓 ?je 上，也就是頻率軸要對應。 2） 因果穩(wěn)定的 ??sHa 應能映射成因果穩(wěn)定的 ??zH 。也就 是 s 平面的左半平面 Re[s]0 必須映射到 z平面單位圓的內部 |z|1。 從模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，主要的有以下幾種映射方法：沖激響應不變法、階躍響應不變法、雙線性變換法。 下面來介紹下模擬濾波器的數(shù)字化方法： 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 只有單個極點，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當于一個穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)）。因此可將 )(sHa 展開稱部分分式表達式： 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 13 ?? ?? Nk kka ss AsH 1)( 其相應的沖激響應 )(tha 是 )(sHa 的拉普拉斯反變換，即： ??? ?? Nktskaa tueAsHLth k11 )()]([)( 其中 )(tu 是連續(xù)時間的單位階躍函數(shù)。在沖激響應不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位抽樣響應等于 )(tha 的抽樣，即： ???? ???NknTskNknTska nueAnueAnThnh kk11 )()()()()( 對 )(nh 求 z 變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ???? ?? ? ??? ????? ????? ? ????? Nk Ts knn TsNk knn Nk nTskn n zeAzeAznueAznhzH kkk 1 10 110 1 1)()()()()( 或者直接根據(jù) )(sHa 求出 )(zH ???????????? ??????? 1111 11)()(11 zzcHsHzHazzcsa，其中 Tc 2? 。 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 14 4 基于遺傳算法的 IIR 數(shù)字濾波器的設計與仿真 Matlab 軟件的概述 Matlab 是由美國 mathworks 公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如 C、 Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。 Matlab 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似 ，其 高效的數(shù)值計算及符號計算功能 ， 能使用戶從繁雜的數(shù)學運算分析中解脫出來 ； 具有完備的圖形處理功能 ,實現(xiàn)計算結果和編程的可視化 ； 友好的用戶界面及接近數(shù)學表達式的自然化語言 ,使學者易于學習和掌握 ； 功能豐富的應用工具箱 (如信號處理工具箱、通信工具箱等 ) ,為用戶提供了大量方便實用的處理工具 。 Matlab 的應用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設計、測試和測量、財 務建模和分析以及計算生物學等眾多應用領域。附加的工具箱（單獨提供的專用 MATLAB 函數(shù)集）擴展了 MATLAB 環(huán)境，以解決這些應用領域內特定類型的問題。 IIR 數(shù)字濾波器的設計 數(shù)字濾波器設計的簡要分析 IIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為： ?? ?????? ???Nk kkkk zdzc zbzaAzH1 21210 11)( 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 15 濾波器的頻率響應特性為： ?? ?? ?? ?? ??? Nk jkjk jkjkj edec ebeaAeH 1 220 11)( ?? ??? 若設 IIR 濾波器的理想幅頻響應為 )( ?jd eH，則 IIR 濾波器頻域最小均方差優(yōu)化設計就是要求在離散頻率點 ? ?Mii ?? ,2,1?上，使所涉及的濾波器的幅頻響應)( ?jeH 與給定的幅頻響應 )( ?jd eH 的均方誤差 21 ])()([?? ??Mijdj eHeHE ?? 為最小，即： 21 ])()([mi nmi n ?? ??Mijdj eHeHE ?? 從此可以看出，目標函數(shù) E 是增益 0A 和濾波器系數(shù) ）， Nkdcba kkkk ?? ,2,1(的非線性函數(shù)。由于共有 N 個二階節(jié)，因此 E 是有（ 4n+1）個未知數(shù)的函數(shù)。 設向量 ? 為： ),,,( 22221111 NNNN dcbadcbadcba ??? 它表示除 0A 以外的其余 4N 個優(yōu)化變量，這樣 E 可表示為 ? 和 0A 的函數(shù)，即： 21 00 ])()([),( ?? ????Mijdj eHeGAAEE ?? 所以應用遺傳算法我們可以首先推導出最佳增益 0A 的解析表達式，然后用遺傳算法求解濾波器系數(shù) ），、 Nkdcba kkkk ?? ,2,1(。 增益 0A 的計算，根據(jù)公式 （ 412）對 0A 求偏導并令其為零，則有 ? ? 0)(])()([2),( 1 00 0 ?????? ??Mi jjdj eGeHeGAA AE ??? 因此求出最佳增益 0A 為： 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 16 21i1i0)()()(??????MjjdMjeGeHeGA??? 由于只考慮幅度誤差，所以 0A 的正負對結 果沒有影響。 參數(shù)區(qū)間的確定，為了應用遺傳算法，濾波器的每個參數(shù)都要用一個有限長的二進制字符串進行編碼。因此為了提高參數(shù)表示精度，應給出盡可能小的取值范圍。由公式可知，為了確保濾波器的穩(wěn)定性，要求每個二階節(jié)的極點都位于 z平面的單位圓內，即，使 211 ?? ?? zdzc kk 的零點 kz 滿足 1?kz ，由此可確定 kc 、kd 的取值范 圍為： Nkdc kk ???????? 2,1,11,22 若在此范圍內，優(yōu)化結果仍出現(xiàn)了使濾波器不穩(wěn)定的極點，那么可用其倒數(shù)代替該極點，這樣可在不改變幅頻響應的前提下，保證得到穩(wěn)定的濾波器。此外，若要求濾波器同時具有最小相移特性，對 kk ba、 可做與 kk dc、 相同的處理。 實例比較一般算法設計思路和遺傳算法設計思路 以此題為例： 試設計一個數(shù)字低通巴特沃思濾波器。要求通帶截止頻率 sradc /20xx2 ??? ? ，通帶 最大衰減 dB31 ?? ，阻帶起始頻率 sradst /40002 ??? ? ，阻帶最小衰減dB202 ?? ，采樣頻率 srads /20xx02 ??? ? 。 解 ：若采用一般方法求解： （ 1）求階數(shù) N，模擬巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為 Nca jH 22 )/(1 1)( ????? (421) 將性能指標帶入此表達式，可得 武漢理工大學《數(shù)字信號處理》 17 ])/(1l g [10)(lg202lg10])/(1