【文章內(nèi)容簡介】 位長度，連結(jié) PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒 CBA DFE yxQPOBA（ 0＜ t＜ 2）． （ 1）求直線 AB 的解析式； （ 2）設(shè) △ AQP 的面積為 y ，求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時(shí)刻 t ，使線段 PQ恰好把 △ AOB 的周長和面積同時(shí)平分？若存在，請求出此時(shí) t 的值；若不存在，請說明理由； （ 4）連結(jié) PO，并把 △ PQO 沿 QO 翻折，得到四邊形 PQPO? ，那么是否存在某一時(shí)刻 t ，使四邊形 PQPO? 為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)和菱形的邊長；若不存在，請說明理由． 參 考 答 案 （一） 精心選一選 1． B （二） 細(xì)心填一填 13． 【答案】38； 4 2 ． 14．【提示】分 a＋ b＋ c≠ 0 和 a＋ b＋ c＝ 0 兩種情況 【答案】177。 1． 15．【提示】由△ ABC∽△ BCD，列出比例式，求出 CD，再用△ ABC∽△ AED． 【答案】 10． 16．【提示】延長 FE 交 CB 延長線于 H 點(diǎn)，則 AF＝ BH，考慮△ AFG∽△ CHG． 【答案】 1︰ 5． 17．【提示】分“ ”類和“ ”類兩類． 【答案】 6 對． 18． 【答案】∠ B＝∠ ACP，或∠ ACB＝∠ APC，或 AC2＝ AP178。 AB． 19． 【答案】 6． 20．【提示】作 EF∥ BC 交 AD 于 F．設(shè) BE 交 AD 于 O 點(diǎn)，先求出 OD 長和 OB 長，最后用勾股定理求出 BD 的長． 【答案】 144． 21． 【提示】作 AE∥ DC 交 BC 于 E 點(diǎn)，由 Rt△ ABE∽ Rt△ CBA，依次算出 BE、 AB 的長，最后求出AE 的長，即可求出梯形面積． 【答案】 36． (三 )認(rèn)真答一答 22．【提示】延長 EA，與 CD 的延長線交于 P 點(diǎn)，則△ APD∽ △ EPF∽ △ BPC． 【答案】 1320 23．方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形．請你在圖示的 10179。10 的方格紙中，畫出兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形，并加以證明（要求所畫三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母）． 【提示】先任意畫一個(gè)格點(diǎn)鈍角三角形，然后三邊都擴(kuò)大相同的倍數(shù)，畫出另一個(gè)格點(diǎn)鈍角三角形． 24．【提示】過 F 點(diǎn)作 FG∥ CB，只需再證 GF＝ DF． 【答案】方法一：作 FG∥ BC 交 AB 延長線于點(diǎn) G． ∵ BC∥ GF， ∴ BCAC ＝ GFAF ． 又 ∠ BDC＝ 90176。 ， BE＝ EC， ∴ BE＝ DE． ∵ BE∥ GF， ∴ GFDF ＝ BEDE ＝ 1． ∴ DF＝ GF． ∴ BCAC ＝ DFAF ． 方法二：作 EH∥ AB 交 AC 于點(diǎn) H．∵ BCAC ＝ BEAH ， DFAF ＝ DEAH ， ∠ BDC＝ 90176。 ， BE＝ EC， ∴ BE＝ DE． ∴ BCAC ＝ DFAF ． 25．如圖，在△ ABC 中， AB＝ AC，延長 BC 至 D，使得 CD＝ BC， CE⊥ BD 交 AD 于 E，連結(jié) BE 交 AC 于F，求證 AF＝ FC． 【提示】先證△ BCF∽ △ DBA，再證ACFC＝21． 【答案】∵ BC＝ CD， EC⊥ BD， ∴ BE＝ DE，∠ FBC＝∠ D． 又 AB＝ AC， ∴ ∠ BCF＝∠ DBA． ∴ ∠ BCF∽△ DBA． ∴ ABFC ＝ DBBC ． 又 BD＝ 2BC， AB＝ AC， ∴ ACFC ＝ BCBC2 ＝ 21 ． ∴ FC＝ 21 AC． 因此 AF＝ FC． 26．已知：如圖， F 是四邊形 ABCD 對角線 AC 上一點(diǎn)， EF∥ BC， FG∥ AD． 求證： ABAE ＋ CDCG ＝ 1． 【提示】利用 AC＝ AF＋ FC． 【答案】∵ EF∥ BC， FG∥ AD，∴ ABAE ＝ ACAF ， CDCG ＝ CACF ． ∴ ABAE ＋ CDCG ＝ ACAF ＋ CACF ＝ ACAC ＝ 1． 27．如圖， BD、 CE 分別是△ ABC 的兩邊上的高，過 D 作 DG⊥ BC 于 G，分別交 CE 及 BA 的延長線于 F、H，求證： （ 1） DG2＝ BG178。 CG；（ 2） BG178。 CG＝ GF178。 GH． 【提示】（ 1）證△ BCG∽ △ DCG；（ 2）證 Rt△ HBG∽ Rt△ CFG． 【答案】（ 1） DG 為 Rt△ BCD 斜邊上的高， ∴ Rt△ BDG∽ Rt△ DCG．∴ DGCG ＝ BGDG ，即 DG2＝ BG178。 CG． （ 2）∵ DG⊥ BC， ∴ ∠ ABC＋∠ H＝ 90176。， CE⊥ AB． ∴ ∠ ABC＋∠ ECB＝ 90176。．∴ ∠ ABC＋∠ H＝∠ ABC＋∠ ECB．∴ ∠ H＝∠ ECB． 又 ∠ HGB＝∠ FGC＝ 90176。，∴ Rt△ HBG∽ Rt△ CFG．∴ GFBG＝GCGH， ∴ BG178。 GC＝ GF178。 GH． 28．如圖，∠ ABC＝∠ CDB＝ 90176。， AC＝ a， BC＝ b． （ 1）當(dāng) BD 與 a、 b 之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ ABC∽ △ CDB？ （ 2）過 A 作 BD 的垂線，與 DB 的延長線交于點(diǎn) E，若△ ABC∽ △ CDB． 求證四邊形 AEDC 為矩形（自己完成圖形）． 【提示】利用三角形相似，推出 BD＝ ab2 ． 【答 案】（ 1）∵ ∠ ABC＝∠ CDB＝ 90176。，∴ 當(dāng) BCAC ＝ BDBC 時(shí)，△ ABC∽△ CDB． 即 ba ＝ BDb ．∴ BD＝ ab2 ．即當(dāng) BD＝ ab2 時(shí)，△ ABC∽△ CDB． ∵ △ ABC∽△ CDB，∴ ∠ ACB＝∠ CBD．∴ AC∥ ED． 又 ∠ D＝ 90176。，∴ ∠ ACD＝ 90176。 ．∴ ∠ E＝ 90176。．∴ 四邊形 AEDC 為矩形． 29．如圖，在矩形 ABCD 中， E 為 AD 的中點(diǎn)， EF⊥ EC 交 AB 于 F，連結(jié) FC （ AB＞ AE）． （ 1）△ AEF 與△ EFC 是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由； （ 2）設(shè) BCAB ＝ k，是否存在這樣的 k 值，使得△ AEF∽△ BFC，若存在，證明你的結(jié)論并求出 k的值；若不存在，說明理由． 【提示】（ 1）如圖，證明△ AFE≌△ DGE，證出∠ AFE＝∠ EFC． （ 2）證明∠ ECG＝ 30176。，∠ BCF＝ 30176。． 【答案 】如圖，是相似． 【證明】延長 FE，與 CD 的延長線交于點(diǎn) G． 在 Rt△ AEF 與 Rt△ DEG 中， ∵ E 是 AD 的中點(diǎn)，∴ AE＝ ED． ∵ ∠ AEF＝∠ DEG，∴ △ AFE≌△ DGE． ∴ ∠ AFE＝∠ DGE．∴ E 為 FG 的中點(diǎn)． 又 CE⊥ FG，∴ FC＝ GC．∴ ∠ CFE＝∠ G．∴ ∠ AFE＝∠ EFC． 又 △ AEF 與△ EFC 均為直角三角形，∴ △ AEF∽△ EFC． ① 存在．如果∠ BCF＝∠ AEF，即 k＝BCAB＝ 23 時(shí) ，△ AEF∽△ BCF． 證明：當(dāng)BCAB＝ 23 時(shí)，DEDC＝ 3 ，∴ ∠ ECG＝ 30176。． ∴ ∠ ECG＝∠ ECF＝∠ AEF＝ 30176。．∴ ∠ BCF＝ 90176。－ 60176。＝ 30176。． 又 △ AEF 和△ BCF 均為直角三角形，∴ △ AEF∽△ BCF． ② 因?yàn)?EF 不平行于 BC，∴ ∠ BCF≠∠ AFE．∴ 不存在第二種相似情況． 30．如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90176。， BC＝ 6 cm， CA＝ 8 cm，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出 發(fā)，以每秒 2 cm 的速度沿 CA、 AB 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B，則從 C 點(diǎn)出發(fā)多少秒時(shí)，可使 S△ BCP＝ 41 S△ ABC？ 【提示】先求 CP，再求 DP． 【答案】當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)，運(yùn)動(dòng)在 CA 上時(shí)，若 S△ BCP＝ 41 S△ ABC，則 21 178。 CP178。 BC＝ 41 21 AC178。 BC， ∴ CP＝ 41 AC＝ 2（ cm）． 故由點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度為每秒 2 cm，它從 C 點(diǎn)出發(fā) 1 秒時(shí)，有 S△ BCP＝ 41 S△ ABC．當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)運(yùn)動(dòng)到 AB 上時(shí)，如圖，可過點(diǎn) P 作 PD⊥ BC 于 D． 若 S△ BCP＝ 41 S△ ABC，則 21 PD178。 BC＝ 41 178。 21 AC178。 BC． ∴ PD＝ 41 AC＝ 2（ cm）． ∵ Rt△ BAC∽ Rt△ BPD， ∴ ABBP ＝ ACPD ． 又 AB＝ 22 BCAC ? ＝ 10， 故 BP＝ 8102? ＝ 25 ， AP＝ AB－ BP＝ 10－ 25 ＝ ． 也就是說，點(diǎn) P 從 C 出發(fā)共行 cm，用去 秒，此時(shí) S△ BCP＝ 41 S△ ABC． 答： 1 秒或 秒． 31. BC=50m， AM≈ 133米． 32. 錯(cuò)誤，∵ AO BOOD OC? 33. 證△ DCE∽△ DBC 得 DC2=DE178。 DB 再證△ DEF∽△ DAB 得 DE178。 DB=DA178。 DF (2)AD178。 DF=DG178。 DC 34. BC=4m 35. 證（ 1）△ EAC 與△ DBC 全等 ,得到 ∠ EAC=∠ B,而 ∠ B=∠ ACB,得 ∠ EAC=∠ ACB 故 AE//BC (2) △ EAC∽△ DBC 得到 ∠ EAC=∠ B,而 ∠ B=∠ ACB,得 ∠ EAC=∠ ACB 36. （ 1）連接 BC交 OA 于 E 點(diǎn) ∵ AB、 AC 是⊙ O的切線， ∴ AB=AC, ∠ 1=∠ 2 ∴ AE⊥ BC ∴ ∠ OEB=90O ∵ BD 是⊙ O的直徑 ∴ ∠ DCB=90O ∴ ∠ DCB=∠ OEB ∴ CD∥ AO? (2)∵ CD∥ AO ∴ ∠ 3=∠ 4 ∵ AB 是⊙ O的切線， DB 是直徑 ∴ ∠ DCB=∠ ABO=90O ∴△ BDC∽△ AOB ∴ BDAO = DCOB ∴ 6y = x3 ∴ y = 18x ∴ 0x6 (3)由已知和 (2)知：??? ??? 18xy 11yx????? 8 分 把 x、 y看作方程 z211z+18=0 的兩根 解這個(gè)方程 得 z=2或 z=9 ∴ ??? ??9y 2x11 ??? ??2y 9x22 （舍去） ∴ AB= 9232 = 72 =6 37. （ 1） ∵ AP=QC， AP+BQ=QC+BQ=BC=1 又 ∵ AP、 BQ 分別為方程 02 ??? nmxx 的兩根，有 AP+BQ=m， AP178。 BQ=n ∴ AP+BQ=m=1（ 2 分） （ 2） ∵ EF∥ AP∴AQEQAPEF? 又 ∵ AP∥ BQ∴ APBQAEEQ? ∴BQAP BQEQAE EQ ??? 即BQAPBQAQEQ ?? ∴BQAPBQAPEF ??即：BQAP BQAPEF ??? （ 3）連結(jié) QD， 則 EP∥ QD，得： S△ AQD=21 ，且 S△ AEP∶ S△ AQD=AP2∶ AD2= AP2∶ 1= AP2 ∴ S△ AEP= AP2178。 S△ AQD= 21 AP 2 ∴ S△ PQE∶ S△ AEP=EQ∶ AE， E43D21O圖 20CBA 即81∶21AP 2= EQ∶ AE=BQ∶ AP ∴ AP178。 BQ=41即： n=41 38. 解 （ 1）∵ OA=12,OB=6 由題意，得 BQ=1178。 t=t， OP=1178。 t=t∴ OQ=6－ t∴ y=21179。 OP179。OQ=21178。 t（ 6－ t） =21t2＋ 3t（ 0≤ t≤ 6） （ 2）∵ 21 32y t t?? ? ∴當(dāng) y 有最大值時(shí)， 3t? ∴ OQ=3 OP=3 即 △ POQ 是等腰直角三角形。把 △ POQ 沿 PQ 翻折后，可得四邊形 OPCQ 是正方形∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 3， 3）∵(12, 0), (0, 6)AB∴直線 AB 的解析式為 1 62yx?? ? 當(dāng)