【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，并利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行決策。 教學(xué)過(guò)程： 一、例題精析，引導(dǎo)學(xué)法，指導(dǎo)建模 1．何時(shí)獲得最大利潤(rùn)問(wèn)題。 例：重慶市某區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，豐富的花木產(chǎn)品只能在本地銷 售，區(qū)政府對(duì)該花木產(chǎn)品每投資 x 萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為 P=－ 150 (x－ 30)2＋ 10 萬(wàn)元，為了響應(yīng)我 國(guó)西部大開(kāi)發(fā)的宏偉決策，區(qū)政府在制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展的 10 年規(guī)劃時(shí)，擬開(kāi)發(fā)此花木產(chǎn)品，而開(kāi)發(fā)前后可用于該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)資金每年最多 50 萬(wàn)元，若開(kāi)發(fā)該產(chǎn)品，在前 5 年中，必須每年從專項(xiàng)資金中拿出 25 萬(wàn)元投資修通一條公路，且 5 年修通，公路修通后，花木產(chǎn)品除在本地銷售外，還可運(yùn)往外地銷售，運(yùn)往外地銷售的花木產(chǎn)品，每投資 x 萬(wàn)元可獲利潤(rùn) Q=－ 4950(50－ x)2＋ 1945 (50－ x)＋ 308 萬(wàn)元。 (1)若不進(jìn)行開(kāi)發(fā)，求 10 年所獲利潤(rùn)最大值是多少 ? (2)若按 此規(guī)劃開(kāi)發(fā)，求 10 年所獲利潤(rùn)的最大值是多少 ? (3)根據(jù) (1)、 (2)計(jì)算的結(jié)果，請(qǐng)你用一句話談?wù)勀愕南敕ā? 學(xué)生活動(dòng)：投影給出題目后，讓學(xué)生先自主分析，小組進(jìn)行討論。 教師活動(dòng)：在學(xué)生分析、討論過(guò)程中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生先了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)的模型，借助二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決這類實(shí)際應(yīng)用題。 教師精析： (1)若不開(kāi)發(fā)此產(chǎn)品，按原來(lái)的投資方式，由 P=－ 150 (x－ 30)2＋ 10 知道，只需從 50 萬(wàn)元?？钪心贸?30 萬(wàn)元投資，每年即可獲最大利潤(rùn) 10 萬(wàn)元，則 10 年的最大利潤(rùn)為 M1＝ 10179。 10=100萬(wàn)元。 (2)若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)，在前 5 年中，當(dāng) x=25 時(shí)，每年最大利潤(rùn)是： P＝－ 150 (25－ 30)2＋ 10=(萬(wàn)元 ) 則前 5 年的最大利潤(rùn)為 M2=179。 5= 萬(wàn)元 設(shè)后 5 年中 x 萬(wàn)元就是用于本地銷售的投資。 則由 Q＝－ 4950 (50－ x)＋ 1945 (50－ x)＋ 308 知，將余下的 (50－ x 萬(wàn)元全部用于外地銷售的投資．才有可能獲得最大利潤(rùn)； 則后 5 年的利潤(rùn)是： M3＝ [－ 150(x－ 30)2＋ 10]179。 5＋ (－ 4950x2＋ 1945 x＋ 308)179。 5＝－ 5(x－ 20)2＋ 3500 故當(dāng) x＝ 20 時(shí)， M3 取得最大值為 3500 萬(wàn)元。 ∴ 10 年的最大利潤(rùn)為 M＝ M2＋ M3＝ 萬(wàn)元 (3)因?yàn)?＞ 100，所以該項(xiàng)目有極大的開(kāi)發(fā)價(jià)值。 強(qiáng)化練習(xí)：某公司試銷一種成本單價(jià)為 500 元 /件的新產(chǎn)品，規(guī) 定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于 800 元 /件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量 y(件 )與銷售單價(jià) x(元 /件 )可近似看做— 次函數(shù) y＝ kx＋ b 的關(guān)系，如圖所示。 (1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù) y＝ kx＋ b 的表達(dá)式， (2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn) (毛利潤(rùn)＝銷售總價(jià)－成本總價(jià) )為 S 元，①試用銷售單價(jià) x 表示毛利潤(rùn) S；②試問(wèn)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大利潤(rùn) ?最大利潤(rùn)是多少 ?此時(shí)的銷售量是多少 ? 分析： (1)由圖象知直線 y＝ kx＋ b 過(guò) (600， 400)、 (700， 300)兩點(diǎn)，代入可 求解析式 為 y＝－ x＋ 1000 (2)由毛利潤(rùn) S＝銷售總價(jià)－成本總價(jià)，可得 S 與 x 的關(guān)系式。 S＝ xy－ 500y＝ x(－ x＋ 1000)－ 500(－ x＋ 100) ＝－ x2＋ 1500x－ 500000＝－ (x－ 750)2＋ 62500 (500＜ x＜ 800) 所以，當(dāng)銷售定價(jià)定為 750 元時(shí)，獲最大利潤(rùn)為 62500 元。 此時(shí)， y＝－ x＋ 1000＝－ 750＋ 1000＝ 250,即此時(shí)銷售量為 250 件。 2．最大面積是多少問(wèn)題。 例：某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為 12 米的 矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米 1000 元，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為 x，面積為 S 平方米。 (1)求出 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)設(shè)計(jì)費(fèi)用； (3)為了使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)是多少 ?(精確到元 ) (參與資料：①當(dāng)矩形的長(zhǎng)是寬與 (長(zhǎng)＋寬 )的比例中項(xiàng)時(shí)，這樣的矩形叫做黃金矩形，② 5≈ ) 學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際幾何問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建 立恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)模型，并借助二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決這類問(wèn)題。 教師精析： (1)由矩形面積公式易得出 S＝ x178。 (6－ x)＝－ x2＋ 6x (2)確定所建立的二次函數(shù)的最大值，從而可得相應(yīng)廣告費(fèi)的最大值。 由 S＝－ x2＋ 6x＝－ (x－ 3)2＋ 9，知當(dāng) x＝ 3 時(shí)，即此矩形為邊長(zhǎng)為 3 的正方形時(shí)，矩形面積最大，為 9m2，因而相應(yīng)的廣告費(fèi)也最多：為 9179。 1000＝ 9000 元。 (3)構(gòu)建相應(yīng)的方程 (或方程組 )來(lái)求出矩形面積，從而得到廣告費(fèi)用的大小。 設(shè)設(shè)計(jì)的黃金矩形的長(zhǎng)為 x 米，則 寬為 (6－ x)米。 則有 x2＝ 6178。 (6－ x) 解得 x1＝－ 3－ 3 5 (不合題意，舍去 )， x2＝－ 3＋ 3 5。 即設(shè)計(jì)的矩形的長(zhǎng)為 (3 5， 3)米，寬為 (9－ 3 5)米時(shí)，矩形為黃金矩形。 此時(shí)廣告費(fèi)用約為： 1000(3 5－ 3)(9－ 3 5)≈ 8498(元 ) 二、課堂小結(jié)： 讓學(xué)生談?wù)劊ㄟ^(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，有哪些體驗(yàn)，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最大利潤(rùn)問(wèn)題，最大面積問(wèn)題。 三、 作業(yè)： P28，復(fù)習(xí)題 C 組 13～ 15 題。 課后反思： 二次函數(shù)的應(yīng)用綜合體現(xiàn)了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)，這類綜合題與其他學(xué)過(guò)的知識(shí)有著密切的聯(lián)系，最大利潤(rùn)問(wèn)題，最大面積問(wèn)題是實(shí)際生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵在于如何建立恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)模型，建立正確的函數(shù)關(guān)系式，這一點(diǎn)應(yīng)讓學(xué)生有深刻的體會(huì)。 第三課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì) 1．某公司生產(chǎn)的 A 種產(chǎn)品， 它的成本是 2元，售價(jià)為 3 元，年銷售量為 100 萬(wàn)件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是 x(十萬(wàn)元 )時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 y 倍，且 y＝－ 110x2＋ 35x＋ 1，如果把利潤(rùn)看成是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)。 (1)試寫(xiě)出年利潤(rùn) S(十萬(wàn)元 )與廣告費(fèi) x(十萬(wàn)元 )的函數(shù)關(guān)系式． (2)如果投入廣告費(fèi)為 10～ 30 萬(wàn)元，問(wèn)廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增次 ? (3)在 (2)中， 投入的廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)最大 ?是多少 ? 2．如圖，有長(zhǎng)為 24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形的花圃，且花圃的長(zhǎng)可借用一段墻體 (墻體的最大可使用長(zhǎng)度 a＝ 10 米 )。 (1)如果所圍成的花圃的面積為 45平方米，試求寬 AB 的長(zhǎng)； (2)按題目的設(shè)計(jì)要求，能圍成面積比 45平方米更大的花圃嗎 ?如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法，如果