【文章內(nèi)容簡介】 1) 2( 2 1)( 2 1)?? ???.∴ AB=2． ∵ cos C=CDAC，∴ CD=ACcos 45176。 = 22==1． ∵ cosB= BDAB，∴ BD=AB cos 30176。 = 232=3, ∴ BC=BD＋ DC=3＋ 1． 【解題策略】 對于非直角三角形，常通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來求解． ┃分析┃ 要解 Rt△ ACB，需要 (除直角 )兩個條件，已知條件中有一條邊(BC＝43)，還需要一個條件 (邊或角 )，而這一條件應(yīng)從另一已知條件中得到，由已知可聯(lián)想到△ BDC∽△ BCA，得到 BC2＝ BD AB，其中 BD＝ AB－ AD＝ AB－63，由此可得到關(guān)于 AB 的一個方程，解方程可得所需的另一條件． 解 ：在 Rt△ ACB 中，∠ ACB＝ 90176。， 又∵ CD⊥ AB于 D，∴∠ CDB＝∠ ACB＝ 90176。． 又∵∠ B=∠ B,∴△ BDC∽△ BCA,∴BC BDAB BC?，∴ BC2=BD AB， 即 (43)2＝ (AB－ AD)AB， 48=(AB－63)AB， ∴ AB2－63AB－ 48=0，∴ AB=83(AB=－23舍去 ) ， ∴ Sin A＝4 3 1283BC ??,∴∠ A=30176。 ,∠ B＝ 90176。－∠ A=60176。． ∵ cos A=ACAB,∴ AC=ABcos A=ABcos 30176。 =3832?=12 ． ┃規(guī)律方法┃ (1)由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形．如本例中已知 BC，解直角三角 形 ACB，應(yīng)求的未知元素有 AC， AB，∠ A，∠ B． (2)在直角三角形中，除直角外，只要再知道兩個元素 (其中至少有一個是邊 )，則這個直角三角形中的其他元素都可以求出來． ┃分析┃ 已知∠ B＝∠ D＝ 90176。， AD＝ 7， tan A＝ 2，為了構(gòu)造可解的直角三角形，可分別延長 DC， AB，設(shè)交點(diǎn)為 E，得 DE＝ 14．再利用∠ A＝∠ ECB，則 tan A＝ tan∠ ECB，通過設(shè)參數(shù)，列方程即可求解． 解 ：分別延長 DC， AB交于 E． ∵ tan A＝ tan∠ ECB＝ 2，∴ 2＝DEAD．又 AD=7，∴ DE=14． 設(shè) BC＝ AB＝ k(k＞ 0)，則 BE＝ 2k，∴ AE＝ 3k， CE＝5k． 在 Rt△ ADE 中， AE2＝ AD2＋ DE2，即 (3k)2＝ 72＋ 142，解得 k=753， ∴ CE=353，則 CD=DE－ CE=14－35 733?． ┃ 規(guī)律方法┃ 解此類問題的基 本思路是將四邊形問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題，轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個：一是構(gòu)造可解的直角三角形；二是利用已知條件，通過設(shè)參數(shù)列方程．在解直角三角形時，常用的等量關(guān)系式有：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系、面積關(guān)系等． ┃分析┃ △ ABC 是一個非直角三角形，要想辦法將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來解．要求 BC 的長，關(guān)鍵是求出△ ABC 的高，因?yàn)槿切蔚男螤畈淮_定，所以求三角形的高時應(yīng)該有兩種情況． 解 ：當(dāng)△ ABC 為銳角三角形時 (如圖 1— 34 所示 )， 過 A 作 AD⊥ BC，垂足為 D． 在 Rt△ ADB 中，∵∠ B＝ 60176。， AB＝ 4， ∴ AD＝ ABsin 60176。＝ 432＝23． ∵∠ BAD＝ 90176。－∠ B=30176。，∴ BD＝ 2AB=2． 在 Rt△ ADC 中， CD＝2 2 2 2( 13 ) ( 2 3 )AC AD? ? ?＝ 1， ∴ BC＝ BD＋ CD＝ 2＋ 1＝ 3． 當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時 (如圖 1— 35 所示 )， 過 A 作 AD⊥ BC 交 BC的延長線于 D， 同理可求得 BD=2， CD=1，∴ BC＝ BD－ CD＝ 2－ 1＝ 1。 【解題策略】 解此類問題要注意分類討論思想的運(yùn)用，分類時要做到不重不漏． ┃分析┃ 利用三角形中的邊角關(guān)系解直角三角形，求三角形邊長． 解 ：在 Rt△ ACB 中，∵∠ C=90176。，∠ A=30176。， ∴∠ ABC＝ 60176。 .又∵ BD 是∠ ABC 的平分線， ∴∠ ABD＝∠ DBC＝ 30176。， ∴∠ ABD＝∠ A，∴ BD=AD=20．在 Rt△ DCB 中， cos∠ DBC=BCBD， ∴ BC=BDcos∠ DBC=203 10 32 ?． 【解題策略】 解此題的關(guān)鍵是利用“等量代換”思想，將已知元素與未知元素都化歸到同一直角三角形中，使問題得以解決． 體驗(yàn)中考 ┃分析┃ 本題考查運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)．由題意得 tan 60176。＝ 4y，即 y=4tan 60176。＝43.故選 B． 【解題策略】 在平面直角坐標(biāo)系中 建立直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解． ┃分析┃ 本題考查特殊角的三角函數(shù)值與零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪等的計算． 解 ：8－ 2sin 45176。＋ (2－π )0－ (13)－ 1＝ 22－ 222＋ 1－ 3＝ 2－ 2． 【解題策略】 熟記特殊角的三角函數(shù)值及其他 三角函數(shù)的有關(guān)計算 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意 義 . . . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 . . 知識概覽圖 ?????用 科 學(xué) 計 算 器 求 三 角 函 數(shù)三 角 函 數(shù) 的 有 關(guān) 計 算 已 知 三 角 函 數(shù) 值 ， 用 科 學(xué) 計 算 器 求 角 度有 關(guān) 仰 角 、 俯 角 的 問 題 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】觀察右圖，通過計算可知：在冬至日正午時的太陽入射角為 30176。 30′，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為 20 米的小區(qū)時，兩樓間的距離最小為多少米，才能保證不擋光 ? 【問題探究】如圖所示，設(shè) AC為兩樓最小距離，并設(shè) AC 為 x米，根據(jù)題意可知△ ACB 是直角三角形，且∠ C=90176。，∠ BAC＝ 30176。 30′．又因?yàn)?tan∠ BAC＝BCAC，所以 AC＝ tan 30BC ?，那么對于 tan 30176。 30′的值如何去求呢 ? 【點(diǎn)撥】利用科學(xué)計算器可求一般銳角的三角函數(shù)值．利用計算器可求得 tan 30176。 30′≈ ，所以兩樓間的距離最小為 AC＝ tan3030BC ?≈≈(米 )． 教材精華 知識點(diǎn) 1 用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值 求整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值． 在科學(xué)計算器的面板上涉及三角函數(shù)的鍵有 sin， cos 和 tan 鍵，當(dāng)我們計算整數(shù)度數(shù)的某三角函數(shù)值時，可先按這三個鍵之一，然后再從高位向低位按出表示度數(shù)的整數(shù)，然后按 =鍵，則屏幕上就會顯示出結(jié)果． 例如：求 sin 16176。的值． 解：先按 sin 鍵，再依次按 1 6 =鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值． 若度數(shù)的單位是用度、分、秒表示的，在用科學(xué)計算器計算三角函數(shù)值時，同樣先按 sin， cos， tan 三個鍵之一，然后再依次按度 D﹒ M’ S、分 D﹒ M’ S、秒D﹒ M’ S 鍵，然后按 = 鍵，則屏幕上就會顯示出結(jié)果． 例如：求 sin 72176。 38′ 25″． 解：先按 sin 鍵，再依次按 7 2 D176。 M′ S 3 8 D176。 M′ S = 鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 拓展 (1)用計算器求三角函數(shù)值時，結(jié)果一般有 10 個數(shù)位，如無特別說明，計算結(jié)果一般精確到萬分位． (2)不同的計算器按鍵方式可能不同，可根據(jù)自己使用的計算器探索具體操作步驟． 知識點(diǎn) 2 己知三角函數(shù)值，用科學(xué)計算器求角度 已知三角函數(shù)值求角度，要用到 sin ， cos， tan 鍵的第二功能“ sin1， cos1，tan1”和 2ndf 鍵．具體操作步驟是：先按 2ndf 鍵，再按 sin ， cos， tan 鍵之一，再依次按三角函數(shù)值，最后按 = 鍵，則屏幕上就會顯示出結(jié)果． 例如：已知 sin A＝ ，求∠ A的度數(shù)． 解：先按 2ndf 鍵，再按 sin 鍵，再依次按 0 9 8 1 6 鍵，最后按 = 鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 拓展 (1)上面的結(jié)果是以“度”為單位的，再按 2ndf D﹒ M’ S 鍵，即可顯示出以“度、分、秒”為單位的結(jié)果． (2)求角度的計算結(jié)果，如沒有特別說明，一般精確到“ l′”． 知識點(diǎn) 3 仰角、俯角 如圖 l— 40所示，當(dāng)我們進(jìn)行測量時， 當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角． 當(dāng)從高處觀測低處 的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角． ┃規(guī)律方法小結(jié)┃ 科學(xué)計算器是學(xué)習(xí)和計算中比較有利的 工具，用科學(xué)計算器取代筆算是數(shù)學(xué)改革發(fā)展的必然，本節(jié)的學(xué)習(xí)要注意掌握科學(xué)計算器相關(guān)功能鍵的意義，同時在利用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實(shí)際問題時，要能夠利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決． 課堂檢測 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 用計算器計算 sin 35176?！? .(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字 ) 在 Rt△ ACB 中， a＝ 22， b＝ 12，求 ∠ B 的度數(shù)． (精確到度 ) 如圖 1— 41 所示，大樓 AD的高為 10米，遠(yuǎn)處有一塔 BC，某人在樓底 A處測得塔頂 B 處的仰角為 60176。，爬到樓頂 D處測得塔頂 B處的仰角為 30176。，求塔 BC 的高度． 綜合應(yīng)用題 如圖 1— 42 所示，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱由點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) B 時，它走過了 200 m，已知纜車行駛的路線與 水平 面的夾角 a＝ 16176。，那么纜車垂直上升的高度是多少 ?當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點(diǎn) B到達(dá)點(diǎn) D時，它又走過了 200 m，已知纜車由點(diǎn)月到點(diǎn) D的行駛路線與水平面的夾角 β ＝42176。，則纜車從點(diǎn) A到點(diǎn) D垂直上升的高度是多少 ?水平移動的距離又是多少 ?(利用計算器求解，精確到 m) 如圖 1— 43 所示，西寧風(fēng)景區(qū)有兩個景點(diǎn) A， B，為了方便游客，風(fēng)景管理處決定在相距 2千米的 A， B兩景點(diǎn)之間修一條筆直的公路 (即圖中的線段 AB)，經(jīng)測量，在 A 點(diǎn)北偏東 60176。方向， B點(diǎn)北偏西 45176。方向的 C 處有一個半徑為 千米的小水潭，小水潭會不會影響公路的修筑，為什么 ?(參考數(shù)據(jù)：3≈ ) 探索與創(chuàng)新題 如圖 l— 44 所示，在湖邊高出水面 50 m 的山頂 A處，看見一艘飛艇停留在湖面上空某處，觀察到飛艇底部標(biāo)志 P 處的仰角為 45176。，又觀察到其在湖中的像的俯角為 65176。，試求飛艇離湖面的高度 h． (精確到 m， tan 65176?！?) 體驗(yàn)中考 熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為 30176。，看這棟樓底部的俯角為 60176。，熱氣球與樓的水平距離為 66 m，這棟樓有多高 ?(結(jié)果精確到 m，參考數(shù)據(jù)：3≈ ) 如圖 1— 46 所示，山頂建有一座鐵塔，塔高 CD＝ 30 m，某人在點(diǎn) A處測得塔底 C 的仰角為 20176。，塔頂 D 的仰角為 23176。，求此人距 CD 的水平距離 AB． (參考數(shù)據(jù)： sin 20176。≈ ， cos 20176?！?， tan 20176?！?， sin 23176?！郑?cos 23176?！?， tan 23176?！?) 學(xué)后反思 附： 課堂檢測及體驗(yàn)中考答案 課堂檢測 ┃分析┃ 用科學(xué) 計算器進(jìn)行計算的按鍵順序是 sin 3 5 =，結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，可知 sin 35176?！?．故填 ． 【解題策略】 掌握科學(xué)計算器的使用方法． ┃分析┃ 要求∠ B，需知∠ B的某個三角函數(shù)值，已知 a， b，由題意可知tan B＝ba，此題可解． 解： ∵ tan B=ba=12 622 11?， ∴先按 2ndf 和 tan 鍵，再按 ( 6 24