【正文】 0176。并測(cè)得 AD的長(zhǎng)度為 180 米，另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn) B 測(cè)得 山腳點(diǎn) A 的俯角為 45176。刻度線重合，這時(shí)度盤(pán)的頂線 PQ在水平位置； (2)如圖 1— 70 所示，轉(zhuǎn)動(dòng)度盤(pán)，使度盤(pán)的直徑 PQ 對(duì)準(zhǔn)目標(biāo) M，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù)； (3)根據(jù)同角的余角相等可以知道，所測(cè)傾斜角即仰角∠ AOM 等于鉛垂線所指的度數(shù)，讀出鉛垂線所指的度數(shù)，就是∠ AOM 的度數(shù)． 拓展 (1)測(cè)傾器的制作和使用的原理是：“同角的余角相等” (測(cè)仰角 )、“對(duì)頂角相等”或“同角的余角相等” (測(cè)俯角 )． (2)90176。∴ PE＝ PCcos 45176。 =AB(tan 23176?！?DB＝ CD＝ x． 又∵∠ ACD＝ 60176?！?， tan 23176。求塔 BC 的高度． 綜合應(yīng)用題 如圖 1— 42 所示，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱由點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，它走過(guò)了 200 m，已知纜車行駛的路線與 水平 面的夾角 a＝ 16176。 ∴∠ ABD＝∠ A，∴ BD=AD=20．在 Rt△ DCB 中， cos∠ DBC=BCBD， ∴ BC=BDcos∠ DBC=203 10 32 ?． 【解題策略】 解此題的關(guān)鍵是利用“等量代換”思想，將已知元素與未知元素都化歸到同一直角三角形中，使問(wèn)題得以解決． 體驗(yàn)中考 ┃分析┃ 本題考查運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)．由題意得 tan 60176。 AB， 即 (43)2＝ (AB－ AD)AB， 48=(AB－63)AB， ∴ AB2－63AB－ 48=0，∴ AB=83(AB=－23舍去 ) ， ∴ Sin A＝4 3 1283BC ??,∴∠ A=30176?！?A＝ 30176。 )的三角函數(shù)值，再利用含 30176。角的三角函數(shù)值的三角形，如圖 1— 29 所示，此時(shí) 30176。 =32， tan 30176。 、 60176。 15 AC＝ 12， BC＝ 5，∴ AB＝2 2 2 212 5AC BC? ? ?＝ 13． (2)sinA＝5 12, c os .13 13BC ACA AB? ? ? (3)∵ sin2A＝2 2 25 25 12 144( ) , c os ( ) ,13 169 13 169A? ? ? ∴ sin2 A+cos2 A＝25169＋144169＝ 1． (4)∵ cosB＝5 ,13AB?∴ sin A＝ cos B． (5)∵ tan A＝55 si n 513,1212 1213BC AAC ? ? ?，∴ tanA＝sincosAA． 【解題策略】 正確運(yùn)用正弦、余弦、正切的概念是解此類題的關(guān)鍵． ┃分析┃ 利用解一元二次方程的方法解答此題． 解 ：解方程 x2－ 2x－ 3＝ 0，得 xl＝ 3， x2＝一 1． ∵ tanα是方程 x2－ 2x 一 3＝ 0的一個(gè)根，且α為銳角，∴ tanα＝ 3， ∴ tan2 a+2tan a+l＝ (tan a+1)2＝ (3+1)2＝ 16． 【解題策略】 本題應(yīng)注意：若 a 為銳角，則 tan a0． ┃分析┃ 要求 tan B，應(yīng)把∠ B 置于一個(gè)直角三角形中，圖中沒(méi)有包含∠ B 的直角三角形，因此，應(yīng)通過(guò)添加輔助線構(gòu)造包含∠ B的直角三角形． 解 ：過(guò) A 作 AE⊥ BC 于 E，∵梯形 ABCD 是等腰梯形， ∴ BE=12(BC－ AD)=12 (14－ 6)＝ 4． ∵ S 梯形 ABCD＝ (AD 十 BC)三個(gè)比值是因變量．當(dāng)∠ A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)∠ A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)． 知識(shí)點(diǎn) 5 互余兩角的 正弦與余弦的關(guān)系 如圖 1— 3所示，∠ A的對(duì)邊恰是∠ B 的鄰邊，而∠ B的對(duì)邊也恰是∠ A 的鄰邊． ∵ sinA＝ Aac? ?的 對(duì) 邊斜 邊， cosB＝B ac?的 鄰 邊斜 邊， ∴ sinA＝ cosB．同理可得 cosA＝ sinB， 又∠ A 十∠ B＝ 90176。 BC BP=BP′，∴在 Rt△ PCB中，∠ PBC＝ 15176。 、 45176。 90176。角的鄰邊為3，如圖 l— 29 所示，由此可求出 30176。角的直角三角形是等腰三角形”這一特征．不妨設(shè)一條直角邊為 1，則另一條直角邊也為 1，斜邊為 2，如圖 l— 30 所示，由此可求出 45176。； (2)2sin 45176。 =22AC． 在 Rt△ ADB 中， sin B＝ADAB， ∴ AD＝ ABsin B=AB sin 30176。＝ 432＝23． ∵∠ BAD＝ 90176。的值． 解：先按 sin 鍵，再依次按 1 6 =鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值． 若度數(shù)的單位是用度、分、秒表示的，在用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)，同樣先按 sin， cos， tan 三個(gè)鍵之一，然后再依次按度 D﹒ M’ S、分 D﹒ M’ S、秒D﹒ M’ S 鍵，然后按 = 鍵，則屏幕上就會(huì)顯示出結(jié)果． 例如：求 sin 72176。熱氣球與樓的水平距離為 66 m，這棟樓有多高 ?(結(jié)果精確到 m，參考數(shù)據(jù)：3≈ ) 如圖 1— 46 所示，山頂建有一座鐵塔，塔高 CD＝ 30 m，某人在點(diǎn) A處測(cè)得塔底 C 的仰角為 20176。 ∴ sin∠ BAC＝BCAB， BC＝ ABsin∠ BAC＝ 200 sin l6176。 =6633=223(m)． 在 Rt△ ADC 中，由 tan∠ CAD＝CDAD， 得 CD＝ ADtan∠ CAD＝ 66 tan 60176。方向的 B 點(diǎn)生成，測(cè)得 OB＝ 1006 km．臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn) B以 40 km / h 的速度向正北方向移動(dòng)，經(jīng) 5 h 后到達(dá)海面上的點(diǎn) C處．因受氣旋影響，臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn) C 開(kāi)始以 30km／ h的速度向北偏西 60176。13 134?≈ (海里 /時(shí) )， 因?yàn)橐?輪船在臺(tái)風(fēng)到來(lái)之前到達(dá) D 港， 所以這段時(shí)間內(nèi)輪船的速度應(yīng)為 海里／時(shí)， 因此為使臺(tái)風(fēng)抵達(dá) D處之前輪船到達(dá) D處，輪船應(yīng)提速 海里／時(shí)． 【解題策略】 把航海問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型． ┃分析┃ 結(jié)合勾股定理的相關(guān)知識(shí)解三角形． 解 ： (1)在 Rt△ ABC 中，因?yàn)?tan A＝43BCAB?，所以∠ A≈ 53176。 (3)量出測(cè)傾器的高度 AC＝ BD＝ A，以及測(cè)點(diǎn) A， B之間的距離 AB＝ b； (4)按照 MN= 11tan tanba ?? ＋ a 的關(guān)系式，就可求得 MN 的高 (這是因?yàn)?1 1 1 1ta n ta nta n ta n ta n ta nM E M E b bb M E M N M E a aaaa? ??? ? ? ? ? ? ???). (5)填寫(xiě)活動(dòng)報(bào)告 (與前面的活動(dòng)報(bào)告類似 )． ┃規(guī)律方法小結(jié)┃ 本節(jié)是活動(dòng)課，活動(dòng)課題為利用直 角三角形的邊角關(guān)系測(cè)量物體的高度，無(wú)論從方案的設(shè)計(jì)、實(shí)地的測(cè)量，還是到活動(dòng)報(bào)告的撰寫(xiě)，都貫穿著數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的原則，滲透著數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．因此，在學(xué)習(xí)中要提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)． 解直角三角形知識(shí)可以廣泛地應(yīng)用于測(cè)量、工程技術(shù)和物理學(xué)中，主要用來(lái)計(jì)算距離、高度和角度．解題的關(guān)鍵是建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，即畫(huà)出圖形，找出要解的直角三角形，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式，并準(zhǔn)確把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念的意義． 常見(jiàn)的圖形與關(guān)系式如下表所 示． 課堂檢測(cè) 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題 如圖 1— 73所示，小河對(duì)岸有一鐵塔 AB，在 C處測(cè)得塔頂 A的仰角為 30176。求鐵塔的高度． 綜合應(yīng)用題 如圖 l— 74 所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌 CD，甲、乙兩人分別在相距 8 m 的 A， B 兩處測(cè)得 D點(diǎn)和 C 點(diǎn)的仰角分別為 45176。 CD＝ 1003km， ∴ CA=cos 30176。 在 Rt△ BAM 中， AM＝12AB＝ 5海里， BM＝ 53海里， 過(guò)點(diǎn) C作 CN⊥ AH于點(diǎn) N，交 BD 于點(diǎn) K， 在 Rt△ BCK 中，∠ CBK＝ 90176。 ∴ BC＝ ABtan∠ CAB＝ ABtan 20176?！?DBF＝ 42176。求此人距 CD 的水平距離 AB． (參考數(shù)據(jù)： sin 20176。 M′ S 3 8 D176?！?BD＝ 2AB=2． 在 Rt△ ADC 中， CD＝2 2 2 2( 13 ) ( 2 3 )AC AD? ? ?＝ 1， ∴ BC＝ BD＋ CD＝ 2＋ 1＝ 3． 當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時(shí) (如圖 1— 35 所示 )， 過(guò) A 作 AD⊥ BC 交 BC的延長(zhǎng)線于 D， 同理可求得 BD=2， CD=1，∴ BC＝ BD－ CD＝ 2－ 1＝ 1。 = 22==1． ∵ cosB= BDAB，∴ BD=AB cos 30176?！?C＝ 45176。 =22,cos 45176。 =12,cos 30176。 45176。 角的三角函數(shù)值的計(jì)算 . 30176。＝622?，∴ pp′＝ 2PC＝?.故填62?． 【解題策略】 這是典型的已知等腰三角形的腰和頂角，求底邊的問(wèn)題．這類問(wèn)題通常都是作底邊上的高，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到兩個(gè)全等的直角三角形，然后解直角三角形．類似地，還可以轉(zhuǎn)化為已知底邊和一角 ，求腰長(zhǎng)或某一角的三角函數(shù)值的問(wèn)題． ┃分析┃ 為了求出 tan∠ ACB， sin∠ BAC 的值，應(yīng)分別構(gòu)造以∠ ACB，∠BAC 為內(nèi)角的直角三角形． 解 ： (1)如圖 1－ 14 所示，過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ BC于 E， 則 S△ ABC= 12BC后得到△ A′ P′B，且 B′ P＝ 2，那么 PP′的長(zhǎng)為 ． (不取近似值，以下數(shù)值供解題使用： sinl5176。(3)正切是在直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段長(zhǎng)度的比值，它是數(shù)值，沒(méi)有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在的直角三角形的大小無(wú)關(guān)． 知識(shí)點(diǎn) 2 正切的應(yīng)用 正切值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系． tanA 的值越大，梯子越陡． 拓展 當(dāng)梯子的傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與鄰邊的比值便隨之確定，因此，可以用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比，即傾斜角的正切值來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度． 用正切來(lái)描述山坡的坡度． 坡角越大，坡度越大，坡面越陡． 拓展 工程上，斜坡的傾斜程度通常用坡度來(lái)表示，而坡度是坡角的正切．坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度 (或坡比 )．通常坡度用字母 i 表示． 知識(shí)點(diǎn) 3 正弦和余弦的概念 如圖 1— 2 所示，在 Rt△ ACB 中，如果銳角 A確定，那么∠ A 的對(duì)邊與斜邊的比 、鄰邊與斜邊的比也隨之確定． ∠ A 的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠ A 的正弦，記作 sin A，即 sinA＝ A? 的 對(duì) 邊斜 邊． ∠ A 的鄰邊與斜邊的比叫做∠ A的余弦，記作 cos A，即 cosA＝ A? 的 鄰 邊斜 邊． 拓展 (1)正弦、余弦的概念是類比正切得到的，其本質(zhì)也是兩條線段長(zhǎng)度的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，沒(méi)有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，與三角形的大小無(wú)關(guān)． (2)在直角三角形中，斜邊大于直角邊，且各邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以有如下結(jié)論： 0sin A l， 0cos A1． (3)正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系： sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡．從理論上講，正弦和余弦都可以刻畫(huà)梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切． 知識(shí)點(diǎn) 4 三角函數(shù)的概念 銳角 A的正弦、余弦和正切都是∠ A的三角函數(shù) ． 拓展 在銳角 A 的三角函數(shù)的概念中，∠ A 是自變量，其取值范圍是 0176。 sin A =12， AC=23，那么 BC 的值為 ( ) A． 2 B． 4 C． 43 D． 6 如圖 l16 所示，某河堤的橫斷面是梯 形 ABCD， BC∥AD，迎水坡 AB 長(zhǎng) 13米，且 ta