【正文】 BC＝ 26，∴ AB=l0，∴ AC=2 2 2 226 10BC AB? ? ?＝ 24． 又∵ AD∥ BC，∴∠ DAC＝∠ ACB，∴ cos∠ DAC＝ cos∠ ACB＝? (2) 如圖 l－ 17所示，過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ AC，垂足為 E． ∵ AD=CD，∴ AE=EC= 12AC=12， 在 Rt△ ADE 中， cos∠ DAE＝1213AEAD?，∴ AD＝ 13． 【解題策略】 利用三角函數(shù)解題要注意相等角之間的轉(zhuǎn)化．添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，達(dá)到解題目的． 30176。 60176。 、 45176。 角的三角函數(shù)值的過(guò)程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理 .進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義 . 30176。 、 60176。 、 45176。 的三角函數(shù)值說(shuō)明相應(yīng)的銳角的大小 . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 30176。 、 60176。 、 45176。 角的三角函數(shù)值的計(jì)算 . ， 進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義 . 知識(shí)概覽圖 3 0 45 60? ? ????????能 夠 進(jìn) 行 含 有 ， ， 角 的 三 角 函 數(shù) 值 的 計(jì) 算掌 握 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 探 索 三 角 函 數(shù) 值 的 過(guò) 程特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值根 據(jù) 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值 說(shuō) 出 特 殊 角 的 大 小 ， 根 據(jù) 特 殊 角 能 直 接 說(shuō) 出 其 三 角函 數(shù) 值 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】觀察自己和同學(xué)們的三角尺，以及教師課堂上使用的三角尺，會(huì)發(fā)現(xiàn)這些三角尺的角度分別是 30176。 90176。 45176。． 【問(wèn)題探究】通過(guò)上面的觀察，我們還可以得出一個(gè)結(jié)論：一副三角尺中的角都是特殊角．其中 30176。 60176。角的三角函數(shù)值． 【點(diǎn)撥】 sin 30176。 =32， tan 30176。 45176。角的三角函數(shù)值 30176。角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用“直角三角形中 30176。角的對(duì)邊為 1，則斜邊為 2，可求得 30176。角的各三角函數(shù)值， sin 30176。 =32,tan 30176。角的三角函數(shù)值． 求 60176。角的三角函數(shù)值的三角形，如圖 1— 29 所示，此時(shí) 30176。角的鄰邊和對(duì)邊，由此可求出60176。 = 2,cos 60176。 =3 45176。角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用“含 45176。角的各三角 函數(shù)值． sin 45176。 =22,tan 45176。 45176。 )的三角函數(shù)值，再利用含 30176。角的直角三角形和三角函數(shù)的定義求出 30176。 60176。＋ sin2 45176。 cos45176。－2 ta n 60( c os 60 si n 60 ) 2??． 如圖 1— 31 所示 ， 在 △ ABC 中 ，∠ B＝ 30176。 AB－ AC=2－ 2，求 BC 的長(zhǎng) ． 綜合應(yīng)用題 如圖 l— 32所示，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90176。 AB＝ BC， AD=7， tan A＝ 2，求 CD的長(zhǎng)． 探索與創(chuàng)新題 在△ ABC 中， AB＝ 4， AC＝13，∠ B＝ 60176?！?A＝ 30176。則 y 的值是 ( ) A．433 B．43 c． 8 D． 2 計(jì)算8－ 2sin 45176。 ＋ sin2 45176。 cos 45176。－2 ta n 60( c os 60 si n 60 ) 2?? =222 1 3 3 3 1 3( ) 2 ( )2 2 2 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? =3 1 3 1222 2 2 2? ? ? ? ?. 【解題策略】 解此類(lèi)題的關(guān)鍵是熟記特殊角的，三角函數(shù)值． ┃分析┃ BC不在直角三角形中，應(yīng)作輔助線(xiàn)將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中，因此可作 AD⊥ BC于 D，此時(shí)組成 BC 的兩條線(xiàn)段 CD， BD 可分別在 Rt△ ADC 和 Rt△ ADB 中求得． 解 ：作 AD⊥ BC 于 D，在 Rt△ ADC 中， sin C＝ADAC， ∴ AD=ACsin C=ACsin 45176。 =12AB， ∴12AB=22AC，∴ AB= 2AC 又∵ AB－ AC＝ 2－ 2，∴ 2AC－ AC＝ 2－ 2， ( 2－ 1)AC＝ 2－ 2， ∴ AC=2221??=( 2 2 )( 2 1) 2( 2 1)( 2 1)?? ???.∴ AB=2． ∵ cos C=CDAC，∴ CD=ACcos 45176。 = 232=3, ∴ BC=BD＋ DC=3＋ 1． 【解題策略】 對(duì)于非直角三角形，常通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解． ┃分析┃ 要解 Rt△ ACB，需要 (除直角 )兩個(gè)條件，已知條件中有一條邊(BC＝43)，還需要一個(gè)條件 (邊或角 )，而這一條件應(yīng)從另一已知條件中得到，由已知可聯(lián)想到△ BDC∽△ BCA，得到 BC2＝ BD 又∵ CD⊥ AB于 D，∴∠ CDB＝∠ ACB＝ 90176。 AB， 即 (43)2＝ (AB－ AD)AB， 48=(AB－63)AB， ∴ AB2－63AB－ 48=0，∴ AB=83(AB=－23舍去 ) ， ∴ Sin A＝4 3 1283BC ??,∴∠ A=30176。－∠ A=60176。 =3832?=12 ． ┃規(guī)律 AD＝ 7， tan A＝ 2，為了構(gòu)造可解的直角三角形，可分別延長(zhǎng) DC， AB，設(shè)交點(diǎn)為 E，得 DE＝ 14．再利用∠ A＝∠ ECB，則 tan A＝ tan∠ ECB，通過(guò)設(shè)參數(shù)，列方程即可求解． 解 ：分別延長(zhǎng) DC， AB交于 E． ∵ tan A＝ tan∠ ECB＝ 2，∴ 2＝DEAD．又 AD=7，∴ DE=14． 設(shè) BC＝ AB＝ k(k＞ 0)，則 BE＝ 2k，∴ AE＝ 3k， CE＝5k． 在 Rt△ ADE 中， AE2＝ AD2＋ DE2，即 (3k)2＝ 72＋ 142，解得 k=753， ∴ CE=353，則 CD=DE－ CE=14－35 733?． ┃ 規(guī)律 AB＝ 4， ∴ AD＝ ABsin 60176。－∠ B=30176。 【解題策略】 解此類(lèi)問(wèn)題要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏． ┃分析┃ 利用三角形中的邊角關(guān)系解直角三角形，求三角形邊長(zhǎng)． 解 ：在 Rt△ ACB 中，∵∠ C=90176。 ∴∠ ABC＝ 60176。 ∴∠ ABD＝∠ A，∴ BD=AD=20．在 Rt△ DCB 中， cos∠ DBC=BCBD， ∴ BC=BDcos∠ DBC=203 10 32 ?． 【解題策略】 解此題的關(guān)鍵是利用“等量代換”思想，將已知元素與未知元素都化歸到同一直角三角形中，使問(wèn)題得以解決． 體驗(yàn)中考 ┃分析┃ 本題考查運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)．由題意得 tan 60176。＝43.故選 B． 【解題策略】 在平面直角坐標(biāo)系中 建立直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解． ┃分析┃ 本題考查特殊角的三角函數(shù)值與零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪等的計(jì)算． 解 ：8－ 2sin 45176。 30′，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為 20 米的小區(qū)時(shí)，兩樓間的距離最小為多少米，才能保證不擋光 ? 【問(wèn)題探究】如圖所示，設(shè) AC為兩樓最小距離，并設(shè) AC 為 x米，根據(jù)題意可知△ ACB 是直角三角形，且∠ C=90176。 30′．又因?yàn)?tan∠ BAC＝BCAC，所以 AC＝ tan 30BC ?，那么對(duì)于 tan 30176。 30′≈ ，所以?xún)蓸情g的距離最小為 AC＝ tan3030BC ?≈≈(米 )． 教材精華 知識(shí)點(diǎn) 1 用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值 求整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值． 在科學(xué)計(jì)算器的面板上涉及三角函數(shù)的鍵有 sin， cos 和 tan 鍵，當(dāng)我們計(jì)算整數(shù)度數(shù)的某三角函數(shù)值時(shí)，可先按這三個(gè)鍵之一，然后再?gòu)母呶幌虻臀话闯霰硎径葦?shù)的整數(shù)，然后按 =鍵，則屏幕上就會(huì)顯示出結(jié)果． 例如：求 sin 16176。 38′ 25″． 解：先按 sin 鍵，再依次按 7 2 D176。 M′ S = 鍵， 則屏幕上顯示出結(jié)果 ． 拓展 (1)用計(jì)算器求三角函數(shù)值時(shí)，結(jié)果一般有 10 個(gè)數(shù)位，如無(wú)特別說(shuō)明，計(jì)算結(jié)果一般精確到萬(wàn)分位． (2)不同的計(jì)算器按鍵方式可能不同，可根據(jù)自己使用的計(jì)算器探索具體操作步驟． 知識(shí)點(diǎn) 2 己知三角函數(shù)值，用科學(xué)計(jì)算器求角度 已知三角函數(shù)值求角度，要用到 sin ， cos， tan 鍵的第二功能“ sin1， cos1，tan1”和 2ndf 鍵．具體操作步驟是：先按 2ndf 鍵，再按 sin ， cos， tan 鍵之一，再依次按三角函數(shù)值，最后按 = 鍵，則屏幕上就會(huì)顯示出結(jié)果． 例如：已知 sin A＝ ，求∠ A的度數(shù)． 解：先按 2ndf 鍵，再按 sin 鍵，再依次按 0 ≈ .(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字 ) 在 Rt△ ACB 中， a＝ 22， b＝ 12，求 ∠ B 的度數(shù)． (精確到度 ) 如圖 1— 41 所示，大樓 AD的高為 10米，遠(yuǎn)處有一塔 BC，某人在樓底 A處測(cè)得塔頂 B 處的仰角為 60176。求塔 BC 的高度． 綜合應(yīng)用題 如圖 1— 42 所示，當(dāng)?shù)巧嚼|車(chē)的吊箱由點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，它走過(guò)了 200 m，已知纜車(chē)行駛的路線(xiàn)與 水平 面的夾角 a＝ 16176。則纜車(chē)從點(diǎn) A到點(diǎn) D垂直上升的高度是多少 ?水平移動(dòng)的距離又是多少 ?(利用計(jì)算器求解，精確到 m) 如圖 1— 43 所示，西寧風(fēng)景區(qū)有兩個(gè)景點(diǎn) A， B，為了方便游客，風(fēng)景管理處決定在相距 2千米的 A， B兩景點(diǎn)之間修一條筆直的公路 (即圖中的線(xiàn)段 AB)，經(jīng)測(cè)量，在 A 點(diǎn)北偏東 60176。方向的 C 處有一個(gè)半徑為 千米的小水潭，小水潭會(huì)不會(huì)影響公路的修筑，為什么 ?(參考數(shù)據(jù)：3≈ ) 探索與創(chuàng)新題 如圖 l— 44 所示，在湖邊高出水面 50 m 的山頂 A處，看見(jiàn)一艘飛艇停留在湖面上空某處，觀察到飛艇底部標(biāo)志 P 處的仰角為 45176。試求飛艇離湖面的高度 h． (精確到 m， tan 65176。看這棟樓底部的俯角為 60176。塔頂 D 的仰角為 23176。≈ ， cos 20176。≈ ， sin 23176。≈ ， tan 23176?！?．故填 ． 【解題策略】 掌握科學(xué)計(jì)算器的使用方法． ┃分析┃ 要求∠ B，需知∠ B的某個(gè)三角函數(shù)值，已知 a， b，由題意可知tan B＝ba，此題可解． 解： ∵ tan B=ba=12 622 11?， ∴先按 2ndf 和 tan 鍵，再按 ( 6 247。． 【解題策略】 解此類(lèi)型題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)計(jì)算器的按鍵順序． ┃分析┃ 作 BE⊥ AD 交 AD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 E，利用邊角關(guān)系列方程求解． 解 ：作 BE⊥ AD 交 AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于 E，設(shè) ED＝ x 米， 在 Rt△ BED 中， BE＝3DE＝3x米， 在 Rt△ ACB 中， BC＝ tan 60176。 AC，且 AC＝ BE， 所以 BC＝3∠ BAC＝ 16176?！?(m)． 即纜車(chē)由 A到 B垂直上升的高度約為 m． 在 Rt△ BFD 中，∠ BFD＝ 90176。 ∴ sinβ =DFBD， DF=BDsinβ =200 sin 42176?！?(m)． 在 Rt△ BFD 中， BF＝ BDcosβ ＝ 200 cos 42176。∴ DB＝ CD＝ x． 又∵∠ ACD＝ 60176。＝3x． 又∵ AB=AD＋ DB＝ 2，∴3x＋ x＝ 2，∴ x＝231?≈ (千米 )． 又∵ ＞ ，∴小水潭不會(huì)影響公路的修筑． 【解題策略】 作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)知識(shí)建立方程，從而達(dá)到解題的目的 ． ┃分析┃ 先利用平面