20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示練習(xí)題含答案(編輯修改稿)
2025-01-03 00:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 A組 T T5) [解 ] (1)設(shè) D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x， y)， 由題意可知 BC⊥ AD， 又 B， C， D 三點(diǎn)共線 ， 故 BC→ ∥ BD→ ， 因?yàn)?AD→ ＝ (x－ 2， y－ 1)， BC→ ＝ (－ 6， － 3)， BD→ ＝ (x－ 3， y－ 2)， 所以?????（ x－ 2） 179。 （－ 6）＋（ y－ 1） 179。 （－ 3）＝ 0，（ y－ 2） 179。 （－ 6）－（ x－ 3） 179。 （－ 3）＝ 0， 解得???x＝ 95，y＝ 75， 所 以 AD→ ＝ ?? ??－ 15， 25 ， 所以 |AD→ |＝ ?? ??－ 152＋ ?? ??252＝ 55 ， 所以 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?? ??95， 75 ， |AD→ |＝ 55 . (2)因?yàn)?AC→ ＝ (－ 5， － 2)， AB→ ＝ (1， 1)， 所以 AC→ 178。 AB→ ＝ (－ 5)179。 1＋ (－ 2)179。 1＝－ 7， |AC→ |＝ （－ 5） 2＋（－ 2） 2＝ 29， |AB→ |＝ 2. 所以 cos A＝ AC→ 178。 AB→|AC→ ||AB→ |＝ － 7580， 所以 A 為鈍角 ． 所以 △ ABC 為鈍角三角形 ． 方法歸納 利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí) ， 就是將幾何中的平行、垂直、線段的 長(zhǎng)、夾角等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量的共線 ， 數(shù)量積模長(zhǎng)及向量的夾角等運(yùn)算 ， 即將 “ 形 ” 的求解 與證明轉(zhuǎn)化為“ 數(shù) ” 運(yùn)算問(wèn)題 ． 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵就是建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 ， 使幾何中的元素用向量表示 ． 3． (1)已知 a＝ (1， － 1)， b＝ (λ， 1)， 若 a與 b的夾角 θ為鈍角 ， 則 λ的取值范圍是 ________． (2)如圖所示 ， 四邊形 ABCD是正方形 ， P 是對(duì)角線 DB 上的一點(diǎn) ， 四邊形 PFCE 是矩形 ， 試用向量的方法證明 PA⊥ EF. 解： (1)因?yàn)?a＝ (1， － 1)， b＝ (λ， 1)， 所以 |a|＝ 2， |b|＝ 1＋ λ2， ab＝ λ－ 1. 因?yàn)?a， b的夾角 θ為鈍角 ， 所以 ???λ － 10，2178。 1＋ λ2≠ 1－ λ， 即?????λ 1，λ 2＋ 2λ＋ 1≠ 0， 所以 λ1 且 λ≠ － 1， 所以 λ的取值范圍是 (－ ∞ ， － 1)∪ (－ 1， 1)． 故填 (－ ∞ ， － 1)∪ (－ 1， 1)． (2)證明： 以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn) ， DC 所在直線為 x 軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 ． 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 1， |DP→ |＝ λ， 則 A(0， 1)， P??? ???22 λ ， 22 λ ，E??? ???1， 22 λ ， F??? ???22 λ ， 0 ， 于是 PA→ ＝ ??? ???－ 22 λ， 1－ 22 λ ， EF→ ＝ ??? ???22 λ － 1， － 22 λ . 因?yàn)?PA→ 178。 EF→ ＝ ??? ???－ 22 λ 178。 ??? ???22 λ － 1 ＋ ??? ???1－ 22 λ 178。 ??? ???－ 22 λ ＝－ 22 λ 178。 ??? ???22 λ－ 1＋ 1－ 22 λ＝－ 22 λ 178。 0＝ 0， 所以 PA→ ⊥ EF→ ， 即 PA⊥ EF. 規(guī)范解答 與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算相關(guān)的綜合 問(wèn)題的解法 (本題滿分 12 分 )已知 OP→ ＝ (2， 1)， OA→ ＝ (1， 7)， OB→ ＝ (5， 1)， 設(shè) C 是直線 OP 上的一點(diǎn) (其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )． (1)求使 CA→ 178。 CB→ 取到最小值時(shí)的 OC→ ； (2)對(duì) (1)中求出的點(diǎn) C， 求 cos∠ ACB. [解 ] (1)因?yàn)辄c(diǎn) C 是直線 OP 上一點(diǎn) ， 所以向量 OC→ 與 OP→ 共線 ， 2 分 設(shè) OC→ ＝ tOP→ ， 則 OC→ ＝ (2t， t)． CA→ ＝ OA→ － OC→ ＝ (1－ 2t， 7－ t)， CB→ ＝ OB→ － OC→ ＝ (5－ 2t， 1－ t)， 4 分 CA→ 178。 CB→ ＝ (1－ 2t)(5－ 2t)＋ (7－ t)(1－ t)＝ 5t2－ 20t＋ 12＝ 5(t－ 2)2－ 8， 6 分 當(dāng) t＝ 2 時(shí) ， CA→ 178。 CB→ 取得最小值 ， 此時(shí) OC→ ＝ (4， 2)． 8 分 (2)當(dāng) OC→ ＝ (4， 2)時(shí) ， CA→ ＝ (－ 3， 5)， CB→ ＝ (1， － 1)， 所以 |CA→ |＝ 34， |CB→ |＝ 2， CA→ 178。 CB→ ＝－ 8， 所以 cos∠ ACB＝ CA→ 178。 CB→|CA→ ||CB→ |＝－ 4 1717 .12 分 [規(guī)范與警示 ] (1)在 處 ， 由向量 OC→ 與 OP→ 共線建立關(guān)系式 OC→ ＝ tOP→ ， 是正確解答本題的關(guān)鍵 ， 易因想不到此關(guān)系造成失分 ． 在 處 ， 利用向量的線性運(yùn)算得到 CA→ ， CB→ 的坐標(biāo) ，是正確建立數(shù)量積 “ CA→ CB→ ” 的函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵 ， 也是失分點(diǎn) ． (2)① 注意隱含條件的挖掘 對(duì)題目中的條件要認(rèn)真分析 ， 找出一些隱含條件 ， 如本例中 “ C是直線 OP 上的一點(diǎn) ”隱含著 “ 向量 OC→ 與 OP→ 共線 ” ． ② 注意函數(shù)思想在解決最值中的應(yīng)用 涉及求解最值的問(wèn)題 ， 常常先通過(guò)題設(shè)建立函數(shù)關(guān)系式 ， 在此基礎(chǔ)上 ， 借助函數(shù)知識(shí)求解 ， 如本 例第 (1)問(wèn) ． 1． 已知向量 a＝ (2， － 1)， b＝ (3， x)， 若 ab＝ 3， 則 x＝ ( ) A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 解析： 選 ， 可 知 ab＝ 2179。 3＋ (－ 1)x＝ 6－ x＝ 3， 求解方程可以得到 x＝ 3， 故選 D. 2． 已知向量 a＝ (1， n)， b＝ (－ 1， n)， 若 2a－ b與 b垂直 ， 則 |a|＝ ( ) A． 2 B． 2 C． 1 D． 4 解析： 選 (2a－ b)b＝ (3， n)(－ 1， n)＝－ 3＋ n2＝ 0， 所以 n2＝ 3， |a|＝ 1＋ 3＝ 2. 3． 設(shè)向量 a與 b的夾角為 θ， 且 a＝ (3， 3)， 2b－ a＝ (－ 1， 1)， 則 cos θ ＝ ________． 解析： b＝ (1， 2)， cos θ ＝ 3179。 1＋ 3179。 23 2179。 5 ＝ 3 1010 . 答案： 3 1010 4． 已知 a＝ (4， － 3)， b＝ (2， 1)， 若 a＋ tb與 b的夾角為 45176。 ， 則實(shí)數(shù) t＝ ________． 解析： 因?yàn)?a＝ (4， － 3)， b＝ (2， 1)， 所以 a＋ tb＝ (2t＋ 4， t－ 3)， 所以 (a＋ tb)b＝ 5t＋ 5， 又因?yàn)?|a＋ tb|＝ （ 2t＋ 4） 2＋（ t－ 3） 2＝ 5t2＋ 10t＋ 25， |b|
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