湖南師大附中20xx屆高三高考模擬卷一教師版數(shù)學(xué)理word版含解析(編輯修改稿)
2025-01-01 21:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1＝ 3125＝ f(5), 所以 g(x)＝ 2x－ 1不是 f(x)＝ x2在 [1， ＋ ∞ )上的 “ 追逐函數(shù) ” ； 對(duì)于 ④ ， g(x)＝ 2－ 1x在 [1， ＋ ∞ )的值域?yàn)?[1， 2)， 所以 g(x)＝ 2－ 1x不是 f(x)＝ x2 在 [1， ＋∞ )上的 “ 追逐函數(shù) ” ． 綜上所述 ， 其中是 f(x)＝ x2在 [1， ＋ ∞ )上的 “ 追逐函數(shù) ” 的有 ①② . 三、解答題：共 70 分 ， 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 ， 證明過(guò)程或演算步驟 ． (17)(本小題滿分 12分 ) 如圖 ， 在 △ ABC中 ， 點(diǎn) D 在 AC 邊上 ， 且 AD＝ 3DC， AB＝ 7， ∠ ADB＝ π 3 ， ∠ C＝ π 6 . (Ⅰ )求 DC 的值； (Ⅱ )求 tan∠ ABC 的值 ． 【解析】 (Ⅰ )如圖所示 ， ∠ DBC＝ ∠ ADB－ ∠ C＝ π3 － π6 ＝ π6 ， 故 ∠ DBC＝ ∠ C, DB＝ DC， 設(shè) DC＝ x， 則 DB＝ x, DA＝ 3x. 在 △ ADB中 ， 由余弦定理 AB2＝ DA2＋ DB2－ 2DADBcos∠ ADB， 即 7＝ ( )3x2＋ x2－ 23xx12＝ 7x2， 解得 x＝ 1， DC＝ 1.(6分 ) (Ⅱ )在 △ ADB中 ， 由 ADAB， 得 ∠ ABD∠ ADB＝ π3 ， 故 ∠ ABC＝ ∠ ABD＋ ∠ DBCπ3 ＋ π6 ＝ π2 ， 在 △ ABC中 ， 由正弦定理 ACsin∠ ABC＝ ABsin∠ ACB， 即 4sin∠ ABC＝ 712， 故 sin∠ ABC＝ 27， 由 ∠ ABC∈ ?? ??π2 ， π ， 得 cos∠ ABC＝－ 37， tan∠ ABC＝－ 23＝－ 23 3.(12分 ) (18)(本小題滿分 12分 ) 如圖 ， 正方形 ABCD 中 ， AB＝ 2 2， AC 與 BD 交于 O 點(diǎn) ， 現(xiàn)將 △ ACD 沿 AC 折起得到三棱錐 D－ ABC， M， N 分別是 OD， OB 的中點(diǎn) ． (Ⅰ )求證： AC⊥ MN； (Ⅱ )若三棱錐 D－ ABC的最大體積為 V0， 當(dāng)三棱錐 D－ ABC 的體積為 32 V0， 且二面角 D－ AC－ B 為銳角時(shí) ， 求二面角 D－ NC－ M 的余弦值 ． 【解析】 (Ⅰ )依題意易知 OM⊥ AC, ON⊥ AC, OM∩ ON＝ O， ∴ AC⊥ 平面 OMN， 又 ∵ MN 平面 OMN， ∴ AC⊥ MN.(4分 ) (Ⅱ )當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐 D－ ABC的高為 DO， 當(dāng)體積為 32 V0時(shí) ， 高為 32 DO， △ OBD中 ， OB＝ OD， 作 DS⊥ OB 于 S， ∴ DS＝ 32 OD， ∴∠ DOB＝ 60176。 ， ∴△ OBD為等邊三角形 ， ∴ S與 N重合 ， 即 DN⊥ 平面 ABC.(6分 ) 以 N為原點(diǎn) ， NB所在直線為 y軸 ， 過(guò) N且平行于 OA的直線為 x軸 ， ND為 z軸 ， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． ∴ N( )0， 0， 0 ， C( )－ 2， － 1， 0 ， D( )0， 0， 3 ， M??? ???0， － 12， 32 . 設(shè) n1＝ ( )x1， y1， z1 為平面 CMN的法向量 ， ∵ NC→ ＝ ( )－ 2， － 1， 0 ， NM→ ＝ ??? ???0， － 12， 32 ， ∴???n1 NC→ ＝－ 2x1－ y1＝ 0，n1 NM→ ＝－ 12y1＋ 32 z1＝ 0，取 n1＝ ??? ???1， － 2， － 2 33 ， 設(shè) n2＝ ( )x2， y2， z2 是平面 CND的法向量 ， NC→ ＝ ( )－ 2， － 1， 0 ， ND→ ＝ ( )0， 0， 3 ， ∴?????n2 NC→ ＝－ 2x2－ y2＝ 0，n2 ND→ ＝ 3z2＝ 0，取 n2＝ ( )1， － 2， 0 ， 設(shè)二面角 D－ NC－ M大小為 θ， 則 |cos θ |＝ ??? ???n1 n2| |n1 | |n2＝ 5193 5＝ 1519＝ 28519 . 顯然所求二面角 D－ NC－ M為銳角 ， 故 cos θ＝ 28519 .(12分 ) (19)(本小題滿分 12分 ) 為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程 ， 檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 10 個(gè)零件 ，度量其內(nèi)徑尺寸 (單位：μ m)． 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn) ， 可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布 N( )μ， ? 2 . (Ⅰ )假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常 ， 記 X 表示某一天內(nèi)抽取的 10 個(gè)零件中其內(nèi)徑尺寸在( )μ－ 3σ， μ＋ 3σ 之外的零件數(shù) ， 求 P( )X≥ 2 及 X 的數(shù)學(xué)期望； (Ⅱ )某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如下圖所示： (ⅰ )計(jì)算這一天平均值 μ與標(biāo)準(zhǔn)差 σ； (ⅱ )一家公司引進(jìn)了一條這種生產(chǎn)線 ， 為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常 ， 用這條生產(chǎn)線試生產(chǎn)了 5 個(gè)零件 ， 度量其內(nèi)徑分別為 (單位： μ m)： 85， 95， 103， 109， 119， 試問(wèn)此條生產(chǎn)線是否需要進(jìn)一步調(diào)試 ， 為什么？ 參考數(shù)據(jù)： P( )μ－ 2σXμ＋ 2σ ＝ 4， P( )μ－ 3σXμ＋ 3σ ＝ 4， 0． 997 410≈ 3, 44≈ , 43≈ ， 0． 026 49≈ 4, 62≈ , ≈ 0. 【解析】 (Ⅰ )由題意知： P(X＝ 0或 )X＝ 1 ＝ C010( )1－
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